Les fonctions - le chef d'entreprise
Une entreprise, qui fabrique et commercialise un produit, a une capacité de production limitée à
treize tonnes par semaine. On se propose d'étudier certains paramètres économiques propres à
cette entreprise.
1. Coût de production:
Pour fabriquer x tonnes de ce produit par semaine, le coût total de production, exprimé en milliers
d'euros, est noté C(x). On a pu établir la formule suivante : C(x) = x3 - 15x2 + 76x
a) Vérifier que l'image de 4 par la fonction C est 128.
À l'aide de la fonction table de la calculatrice, remplis la colonne C(x) du tableau de valeurs fourni.
Ensuite, trace la courbe correspondant à ce tableau dans un repère, en prenant pour unités :
- 1 cm pour 1 tonne en abscisse,
- 2 cm pour 100 000 euros en ordonnées.
Attention! Il faut laisser un peu de place sous le graphique car il y aura des valeurs négatives!
b) On suppose que l'entreprise fonctionne sur la base d'une production de deux tonnes par
semaine. Si celle-ci décide d'augmenter la production d'une tonne, quel est le coût
supplémentaire occasionné par cette augmentation?
Réponds à la même question en supposant que l'entreprise fonctionne sur la base d'une
production de onze tonnes par semaine et décide d'augmenter sa production d'une tonne.
Compare les deux résultats.
2. Etude du bénéfice :
L'entreprise vend son produit 40 000 euros la tonne. Pour x tonnes vendues, sa recette, exprimée
en milliers d'euros, est notée R(x).
a) Exprime R(x) en fonction de x; remplis la colonne R(x) du tableau puis représente R(x)
dans le même repère que C(x).
b) Détermine graphiquement:
- les quantités de produit pour lesquelles le bénéfice est nul;
- le bénéfice pour une quantité de deux tonnes;
- les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire;
- une valeur approchée de la quantité de produit pour laquelle le bénéfice est maximal.
3. Le bénéfice et son maximum
Pour x tonnes produites et vendues, son bénéfice B(x), exprimé en milliers d'euros, est égal à
R(x) - C(x).
a) Exprime B(x) en fonction de x.
b) Remplis la colonne B(x) du tableau puis, toujours dans le même repère, représente B(x).
c) Explique comme la représentation graphique de
B(x) permet de vérifier les résultats de la
question 2.b.
d) Détermine graphiquement la quantité produite qui donne le bénéfice maximum.