Exercice 27.
Soit \( f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t \) (On ne cherchera pas à expliciter \( f(x) \) )
\( \left.1^{\circ}\right) \) Justifier que \( f \) est définie et croissante sur \( \mathbb{R} \).
\( \left.2^{\circ}\right) \) Soit \( \mathrm{C} \) la courbe représentative de \( \mathrm{f} \) dans un repère orthonormal \( (O ; \vec{i} ; \vec{j}) \). Montrer que \( \mathrm{C} \) passe par \( \mathrm{O} \) et donner l'équation de la tangente à \( \mathrm{C} \) en \( \mathrm{O} \).
\( \left.3^{\circ}\right) \) Pour tout \( \left.x \in\right]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\left[\right. \), on pose \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\tan (\mathrm{x}))=\int_{0}^{\tan (\mathrm{x})} \frac{\mathrm{dt}}{1+\mathrm{t}^{2}} \).Démontrer que \( \mathrm{g} \) est dérivable sur \( ] \) \( \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\left[\right. \) et déterminer \( g^{\prime}(x) \). En déduire un expression simple de \( g(x) \) en fonction de \( x \).
\( 4^{\circ} \) )Déterminer \( \mathrm{f}(1) \) et \( f(\sqrt{3}) \).
\( \left.5^{\circ}\right) \) Pour tout \( \left.x \in\right] 0 ;+\infty\left[\right. \), on pose \( h(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{0}^{x} \frac{d t}{1+t^{2}}+\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{d t}{1+t^{2}} \). Montrer que \( h \) est constante et déterminer cette constante .
\( \left.6^{\circ}\right) \) Montrer que \( \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \). Démontrer que \( f \) est impaire et tracer la courbe \( C \).