Bonjour, pourriez vous m’aider à réaliser cet exercice ? J’ai un Dm à rendre très bientôt et n’arrive pas à le résoudre…



On effectue un coloriage en plusieurs étapes d'un carré de côté de longueur 2 cm.

Première étape du coloriage: On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche comme
indiqué sur la figure ci-dessous (la figure n'est pas en vraie grandeur).

Deuxième étape du coloriage: On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun, le
carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé. Pour tout entier naturel n,
supérieur ou égal à 1, on désigne par An, l'aire, exprimée en cm², de la surface totale coloriée après n coloriages. On a ainsi A₁ = 1. La surface coloriée sur la figure à la 2eme étape du coloriage a donc pour aire A2

1. Représenter la partie coloriée lors de la troisième étape.

2. Calculer A2 puis montrer que A3= 37/16

3. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, An+1 = 3/4 An + 1.

4. On pose pour tout entier n supérieur ou égal à 1, B = An- 4.

a) Calculer B₁.

b) Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, Bn+1= 3/4Bn

c) Quelle est la nature de la suite (Bn)?

d) Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le terme général Bn, de la suite (Bn)
en fonction de n.

5. Quelle est la limite de An, lorsque n tend vers +l’infini ?

Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l'aire de la surface coloriée.

Merci d’avance