résolu

le nombre d'or 
deux rectangles de meme format sont dits semblables 
soit ABCD un rectangle de longueur L=AB et de largeur l=AD. On dit que ce rectangle est un rectangle d'or s'il a le meme format que le rectangle EBCF obtenu en retirant le carré de coté AD. on pose (phi)=L/l
a. démontrer que si ABCD est un rectangle d'or , alors on a l'égalité L/l=l/(L-l). en déduire que (phi au carré)=(phi+1)
b. déterminer la valeur exacte de PHI puis une valeur approché à 10^(-3) prés. 

Répondre :

a) Le rectangle ABCD est un rectangle d'or si on aL/l = (L+l)/L càd L^2= l L + l^2 càd L^2 - l L - l^2 = 0 càd L(L-l)=l^2 càd  L/l = l/(L-l).
On a donc L/l = l/(L-l) càd phi = 1/((L-l)/l) = 1/(phi -1) càd phi^2 - phi = 1 càd phi^2 = 1 + phi .
b) On a phi^2 - phi = 1 càd phi^2 - phi -1 = 0 càd delta = 5 , càd racine(delta)=racine(5) càd phi1 = [tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex] l'autre racine est négative, donc phi = [tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex] = 1,618  .

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