porzmeillou
résolu

Exercice sur les fonctions et leurs sens de variation

DM à rendre mardi... merci pour votre aide!
Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes
Les réponses affirmatives seront justifiées par une démonstration, les autres par un contre-exemple.
u et v sont deux fonctions définies sur l'intervalle I
a) Si u est croissante sur I et v décroissante sur I, alors la somme de u+v est décroissante sur I
b) Si u et v sont croissantes et positives sur I, alors le produit uv est une fonction croissante sur I. 

Je devine les réponses, mais je n'arrive pas à les prouver...
Merci!

Répondre :

u et v sont deux fonctions définies sur l'intervalle I
a) Si u est croissante sur I et v décroissante sur I, alors la somme de u+v est décroissante sur I
faux : soit u(x)=x et v(x)=1/x donc (u-v)(x)=x+1/x
u est croissante sur [1;2]
v est décroissante sur [1;2]
u+v est croissante sur [1;2]

b) Si u et v sont croissantes et positives sur I, alors le produit uv est une fonction croissante sur I.
vrai ; soit u et croissante et positive sur I
donc u(x)<0 ; v(x)>0 ; u'(x)>0 ; v'(x)>0
(uv)'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
donc (uv)'(x)>0
uv est croissante sur I

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