a) g'(x)=4x-4=4(x-1) => g'(1)=0 donc g admet un extrémum en 1
vérifions si c'est un minimum
pour que f admette un minimum en a alors g doit être décroissante avant a (g'(x)<0) et g doit être croissante après a (g'(x)>0)
étude de g'(x) : g'(x)<0 <=> x-1<0 => x<1 et g'(x)>0 <=> x-1>0 => x>1
donc pour x<1, g'(x)<0 donc g est décroissante et pour x>1, g'(x)>0 donc g est croissante
donc g admet un minimum en 1 => g(1)=2(1²)-4(1)-17=2-4-17=-19
M(1;-19) est un minimum de g
b)g(x)=1
2x²-4x-17=-1
2x²-4x-17+1=0
2x²-4x-16=0
x²-2x-8=0
x=-2 est solution car (-2)²-2(-2)-8=4+4-8=8-8=0
x²-2x-8=(x+2)(x+a)=x²+2x+ax+2a=x²+(a+2)x+2a avec 2a=-8 d'où a=-4
x²-2x-8=(x+2)(x-4)=0 => -2 et 4 solutions
c)g(x)=-3
2x²-4x-17=-3
2x²-4x-17+3=0
2x²-4x-14=0
x²-2x-7=0 est de la forme ax²+bx+c=0
∆=b²-4ac=(-2)²-4(1)(-7)=4+28=32=2*16=2*4²=(4√2)²
x₁=(-b-√∆)2a=(4-4√2)/2=2-2√2=2(1-√2)
x2=(-b+√∆)2a=(4+4√2)/2=2+2√2=2(1+√2)
g(x)=-3 donne 2 solutions 2(1-√2) et 2(1+√2)
d)g(x)<-4
2x²-4x-17<-4
2x²-4x-13<0
même principe qu'au dessus : rechercher les racines puis factoriser et faire un tableau de signes, la solution est un ensemble où tout est <0
Remarque: es-tu certain que l'énoncé est juste car aucune des solutions ne correspond?