Répondre :
f(x)=ax³+bx²+cx+d
O(0;0)∈C => f(0)=0 => a(0³)+b(0)²+c(0)+d=0 => d=0 (E1)
A(4;0,5)∈C => f(4)=0,5 => a4³+b4²+c4 +d=0,5 or d=0 donc 64a+16b+4c=0,5 (E2)
f'(x)=3ax²+2bx+c
Une tangente horizontale à une courbe => coefficient directeur nul : f'(x)=0
donc tangente horizontale en O => f'(0)=0 => 3a(0²)+2b(0)+c=0 => c=0 (E3)
et tangente horizontale en A => f'4)=0 => 3a(4²)+2b(4)+c=0 => 48a+8b=0 => 8(6a+b)=0
=> 6a+b=0 (E4)
Rappel, on obtient 4 équations à 4 inconnues :
(E1) : d=0
(E3) : c=0
(E2) : 64a+16b+4c=0,5 => 64a+16b=0,5
(E4) : 6a+b=0
d'après (E4) : b=-6a
et on le remplace dans (E2) : 64a+16(-6a)=0,5 => 64a-96a=1/2 => -32a=1/2 => a=(1/2)/(-32) => a =1/(2(-32))=1/-64=-1/64 => a=-1/64
d'où b=-6a=-6(-1/64)=6/64=3/32
donc f(x)=-x³/64+3x²/32