résolu

bonjour j'ai du mal avec cet exercice qui peut m'aider ? f est la fonction définie sur R par f(x)=(ax+b)e^cx où a,b et c désignent des nombres réels. C, est la courbe représentant f dans un repère. C passe par les points A(3/2 ;0) et B(0 ; -3) et C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 7/4.

 

a) Traduire les données de l’énoncé en utilisant f et sa dérivée f’.

 

b) exprimer f’(x) en fonction de a, b et c

 

c) montre que a,b et c vérifient le système :

3/2a+b=0

b= -3

a+7/4ac+bc =0

 

d) en déduire a, b et c puis l’expression de f(x).

Répondre :

La dérivée de f c'est a*e^cx+c(ax+b)e^cx soit (acx+bc+a)e^cx

 

A est sur la courbe donne : 0=(3a/2+b)e^3/2

B est sur la courbe donne : -3=be^0 soit b=-3

on a déjà (3a/2-3)=0 donc a=2 et f(x)=(2x-3)e^cx et f'(x)=(2cx+2-3c)e^cx

 

comme f f'(7/4)=0 il vient que 2c(7/4)+2-3c=0 donc c=-4

 

finalement f(x)=(2x-3)e^(-4x)

 

a) A(3/2 ;0)∈(C) d'où f(3/2)=0

et B(0 ; -3) ∈(C) d'où f(0)=-3

et C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 7/4 d'où f'(7/4)=0

 

b) f'(x)=a*e^cx+c(ax+b)e^cx=(acx+bc+a)e^cx

 

c) f(3/2)=0 : 0=(3a/2+b)e^3/2

f(0)=-3 : -3=be^0 soit b=-3

or (3a/2-3)=0 donc a=2

f'(7/4)=0 : )2c(7/4)+2-3c)e^(7/4)=0 => 2c(7/4)+2-3c=0 donc c=-4 (car e(u)>0)

 

donc f(x)=(2x-3)e^(-4x)

 

 

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