DEVOIR MAISON N°3 Seconde 1
A rendre le mardi 13 novembre 2012.
Préambule : Télécharger le logiciel Geogebra :
Problème : Sur une plage de Malibu, le maître-nageur
Mitch Bukanouille utilise une corde de 160 mètres de
longueur et deux bouées pour délimiter une zone de
baignade rectangulaire. Il cherche à déterminer où
placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus
grande aire possible. On note x la longueur AB en mètres
.
Partie I : construction
Ouvrir le logiciel GeoGebra. L’axe des abscisses modélise le bord de mer. On ajustera la
fenêtre d’affichage chaque fois que nécessaire.
1.
Construire un curseur où le paramètre a varie de 0 à 80.
2. Soit a un réel compris entre 0 et 80. On souhaite
construire des points dans le repère du logiciel comme
sur la figure ci-contre, tels que AB = CD = a et
AB+BC+CD=160 . Déterminer les coordonnées
des points A, B, C et D, puis les construire avec le logiciel.
3. Construire le rectangle ABCD (le logiciel affiche automatiquement les longueurs des
côtés et l’aire de ce rectangle).
4. Faire varier a et conjecturer la valeur de a rendant l’aire du rectangle ABCD maximale.
Quelles sont alors les dimensions du rectangle ABCD ?
Partie II : étude d'une fonction
1. Rappel : x est la longueur AB, en mètres. Sur quel intervalle I la valeur x varie-t-elle ?
2. Calculer, en fonction de x, la longueur et la largeur de la zone de baignade. Calculer, en
fonction de x, l’aire de la zone de baignade.
On appellera f la fonction qui à x associe l’aire, en m2 , de la zone de baignade. On
souhaite étudier les variations de f sur l’intervalle [0;80] .
3. Compléter le tableau suivant à l’aide de votre calculatrice :
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
f(x)
4. Obtention de la courbe représentative de f sur [0;80] avec le logiciel :
Ouvrir une nouvelle fenêtre et entrer l’expression de la fonction f. La courbe
représentative de f s’affiche alors automatiquement. Ajuster l’échelle sur les axes.
Tracer la courbe représentative de f sur votre feuille ou imprimer celle obtenue avec le
logiciel.
5. D’après le graphique, pour quelle valeur de x l’image f (x) est-elle la plus grande ? On
notera x 0 cette valeur.
On va montrer que pour tout x compris entre 0 et 80, f (x )⩽f (x 0).
6. Factoriser l’expression f (x )−f (x 0) . En déduire le signe de f (x )−f (x 0) .
7. Répondre au problème de Mitch.
A rendre le mardi 13 novembre 2012.
Problème : Sur une plage de Malibu, le maître-nageur
Mitch Bukanouille utilise une corde de 160 mètres de
longueur et deux bouées pour délimiter une zone de
baignade rectangulaire. Il cherche à déterminer où
placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus
grande aire possible. On note x la longueur AB en mètres
Partie I : construction
Ouvrir le logiciel GeoGebra. L’axe des abscisses modélise le bord de mer. On ajustera la
fenêtre d’affichage chaque fois que nécessaire.
1.
Construire un curseur où le paramètre a varie de 0 à 80.
2. Soit a un réel compris entre 0 et 80. On souhaite
construire des points dans le repère du logiciel comme
sur la figure ci-contre, tels que AB = CD = a et
AB+BC+CD=160 . Déterminer les coordonnées
des points A, B, C et D, puis les construire avec le logiciel.
3. Construire le rectangle ABCD (le logiciel affiche automatiquement les longueurs des
côtés et l’aire de ce rectangle).
4. Faire varier a et conjecturer la valeur de a rendant l’aire du rectangle ABCD maximale.
Quelles sont alors les dimensions du rectangle ABCD ?
Partie II : étude d'une fonction
1. Rappel : x est la longueur AB, en mètres. Sur quel intervalle I la valeur x varie-t-elle ?
2. Calculer, en fonction de x, la longueur et la largeur de la zone de baignade. Calculer, en
fonction de x, l’aire de la zone de baignade.
On appellera f la fonction qui à x associe l’aire, en m2 , de la zone de baignade. On
souhaite étudier les variations de f sur l’intervalle [0;80] .
3. Compléter le tableau suivant à l’aide de votre calculatrice :
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
f(x)
4. Obtention de la courbe représentative de f sur [0;80] avec le logiciel :
Ouvrir une nouvelle fenêtre et entrer l’expression de la fonction f. La courbe
représentative de f s’affiche alors automatiquement. Ajuster l’échelle sur les axes.
Tracer la courbe représentative de f sur votre feuille ou imprimer celle obtenue avec le
logiciel.
5. D’après le graphique, pour quelle valeur de x l’image f (x) est-elle la plus grande ? On
notera x 0 cette valeur.
On va montrer que pour tout x compris entre 0 et 80, f (x )⩽f (x 0).
6. Factoriser l’expression f (x )−f (x 0) . En déduire le signe de f (x )−f (x 0) .
7. Répondre au problème de Mitch.
