Comment mesurer un arbre ? Il y a, bien sûr, de nombreuses méthodes certaines utilisant des outils très sophistiqués. Voici une méthode qui utilise seulement deux baguettes de même longueur, par exemple 20 cm. Une première baguette OM est placée horizontalement avec une extrémité contre un oeil. La seconde baguette AB est placée verticalement, conte la deuxième extrémité de la première baguette. On recule ensuite jusqu'à ce que notre oeil O soit simultanément aligné avec :

-d'une part l'extrémité supérieure B de la baguette verticale et le sommet D de l'arbre,

-d'autre part l'extrémité inférieure A de la baguette verticale et le pied C de l'arbre.

a) Avec les données suivantes, calculer la hauteur de l'arbre mesuré : OM=20cm, ON=1000cm, AM=2cm, BM=18cm.

b) Pourquoi est-il intéressant que les deux baguettes aient la même longueur ?

Si ça peut vous aider, je vous ai mis la photo qu'il y avait avec mon exercice.

Merci d'avance. :)

Bonjour,

a)
Les triangles OND et ONC sont rectangle en N.
La hauteur de l'arbre correspond à la somme des distance [DN] et [NC].
Pour trouver ces longueurs nous pouvons utiliser le théorème de Thalès qui donne ici deux applications possibles.

Application 1:

[tex]\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{BM}{DN}\\\\ \rightarrow\dfrac{20}{1000}=\dfrac{18}{DN} \\\\ \rightarrow 2DN =18\times 100 \\\\ \rightarrow DN = \dfrac{1800}{2}\\\\ \rightarrow DN=900\text{ cm}=9\text{ m}[/tex]

Nous connaissons DN = 9 m; il reste à trouver NC.

Application 2:

[tex]\dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AM}{NC}\\\\ \rightarrow \dfrac{20}{1000} = \dfrac{2}{NC}\\\\ \rightarrow 2NC = 2\times 100\\\\ \rightarrow NC = \dfrac{200}{2}\\\\ \rightarrow NC = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}[/tex]

En conclusion l'arbre mesure 9 + 1 = 10 m de hauteur.

b)
Si on mesure la distance observateur/pied de l’arbre on obtient la hauteur exacte de l'arbre.

[tex]\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{OM}{ON}\\\\ \rightarrow\dfrac{18+2}{CD}=\dfrac{20}{1000}\\\\ \rightarrow\dfrac{20}{CD}=\dfrac{2}{100}\\\\ \rightarrow 2CD=20\times 100\\\\ \rightarrow CD=\dfrac{20\times 100}{2}\\\\ \rightarrow CD=1\ 000 \text{ cm}=10\text{ m}[/tex]

→ On retrouve bien la hauteur de l'arbre calculée précédemment.

Mais si on prend une baguette AB de 15 cm par exemple et qu'on garde une OM de 20 cm; regardons ce qu'il se passe..

[tex]\dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AB}{DC}\\\\ \rightarrow \dfrac{20}{ON} = \dfrac{15}{1000}\\\\ \rightarrow \dfrac{20}{ON} = \dfrac{3}{200}\\\\ \rightarrow 3ON = 20 \times 200\\\\ \rightarrow ON = \dfrac{4000}{3}\\\\ \rightarrow ON \approx 1\ 333 \text{ cm} = 10,3 \text{ m}[/tex]

→ [ON] est beaucoup trop grand et ne nous permet donc pas de calculer la hauteur de l'arbre.
Voilà pourquoi il est intéressant d'avoir deux baguettes de même longueurs.