Réponse :
bonsoir aidez moi svp
Soit la fonction numérique définie sur R par: x f(x)= |x|/(x²+|x|+1)
1) a) Déterminer D, l'ensemble de définition de f.
Df = {x ∈ R/ x² + |x| + 1 ≠ 0}
x² + |x| + 1 ≠ 0
Δ = 1² - 4 = - 3 < 0 pas de solution
donc x² + |x| + 1 > 0
donc Df = R = ]- ∞ ; + ∞[
b) Étudier la parité de la fonction f.
x∈R et - x ∈R donc f(-x) = |-x|/((- x)² + |-x| + 1) or |-x| = |x|
= |x|/(x² + |x| + 1)
= f(x)
donc la fonction f est paire
2) Étudier la monotonie de la fonction f sur R+.
sur R+ on x ≥ 0 donc f(x) = x/(x² + x + 1)
f est une fonction rationnelle dérivable sur R+ et sa dérivée f ' est :
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
v(x) = x² + x + 1 ⇒ v'(x) = 2x + 1
f '(x) = (x² + x + 1) - x(2x + 1))/(x²+x+1)²
= (x² + x + 1 - 2x² - x)/(x²+x+1)²
= (-x² + 1)/(x²+x+1)² or (x²+x+1)² > 0
donc le signe de f '(x ) est du signe de 1 - x² = (1 + x)(1 - x)
or 1 + x ≥ 0 car x ∈ R+
1 - x ≥ 0 ⇔ - x ≥ - 1 ⇔ x ≤ 1 ⇒ f(x) ≥ 0 sur [0 ; 1] donc f est croissante sur [0 ; 1]
1 - x ≤ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ f '(x) ≤ 0 sur [1 ; + ∞[ donc f est décroissante sur [1;+∞[
3) En déduire la monotonie de f sur R-
f(x) = - x/(x² - x + 1) x ≤ 0 car x ∈ R-
f est une fonction rationnelle dérivable sur R-
f '(x) = - (x² - x + 1) + x(2x - 1))/((x²-x+1)²
= (- x² + x - 1 + 2x² - x)/(x²-x+1)²
= (x² - 1)/(x²-x+1)² or (x²-x+1)² > 0
x - 1 ≤ 0 car x ∈ R-
x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1 ⇒ f '(x) ≥ 0 donc f est croissante sur [- 1 ; 0]
x+1 ≤ 0 ⇔ x ≤ - 1 ⇒ f '(x) ≤ 0 sur ]- ∞ ; - 1] donc f est décroissante sur ]-∞ ; - 1]
Explications étape par étape :