bonjour,
Pour simplifier l'expression \( \cos^6 x + \sin^6 x + \cos^4 x + \sin^4 x - 5\cos^2 x \sin^2 x \), utilisons les identités trigonométriques :
- \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) (identité fondamentale)
- \( \cos^4 x = (\cos^2 x)^2 \)
- \( \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 \)
- \( \cos^6 x = (\cos^2 x)^3 \)
- \( \sin^6 x = (\sin^2 x)^3 \)
En substituant ces expressions, l'expression devient :
\[ (\cos^2 x)^3 + (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 - 5\cos^2 x \sin^2 x \]
Utilisons maintenant l'identité \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) avec \( a = \cos^2 x \) et \( b = \sin^2 x \) :
\[ (\cos^2 x + \sin^2 x)((\cos^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x + (\sin^2 x)^2) + (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 - 5\cos^2 x \sin^2 x \]
Comme \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), nous avons :
\[ (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x + (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 - 5\cos^2 x \sin^2 x \]
Regroupons les termes similaires :
\[ 2(\cos^2 x)^2 + 2(\sin^2 x)^2 - 6\cos^2 x \sin^2 x \]
Utilisons maintenant l'identité trigonométrique \( \cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4} \sin^22x \) :
\[ 2(\cos^2 x)^2 + 2(\sin^2 x)^2 - \frac{3}{2} \sin^22x \]
Et finalement, nous savons que \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), donc \( (\cos^2 x)^2 + (\sin^2 x)^2 = 1 \) :
\[ 2 - \frac{3}{2} \sin^22x \]
Donc, \( \cos^6 x + \sin^6 x + \cos^4 x + \sin^4 x - 5\cos^2 x \sin^2 x \) simplifie à \( 2 - \frac{3}{2} \sin^22x \).
