Réponse :
Bonjour
1) I(2/3 ; 0)
C(1 ; 1)
D(0 ; 1)
K(2/3 ; 1/2)
2) Les coordonnées du vecteur DI , qui est un vecteur directeur de la droite (DI) sont : (2/3 - 0 ; 0 - 1) = (2/3 ; -1)
Une équation cartésienne de (DI) est donc de la forme :
-x - 2/3 y + c = 0
D ∈ (DI) , donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (DI)
On a donc -2/3 + c = 0
⇔ c = 2/3
Une équation cartésienne de (DI) est donc : -x - 2/3 y + 2/3 = 0
On peut multiplier de chaque coté de l'équation par -3 pour se débarrasser des fractions, et on obtient :
3x + 2y - 2 = 0
3) B(1 ; 0) et J(0 ; 1/2)
Les coordonnées du vecteur BJ, qui est directeur de la droite (BJ) sont :
(0 - 1 ; 1/2 - 0) = (-1 ; 1/2)
Une équation cartésienne de (BJ) est de la forme :
1/2 x + y + c = 0
B ∈ (BJ), donc ses coordonnées vérifient l'équation .
On a donc 1/2 + c = 0
⇔ c = -1/2
Une équation de (BJ) est donc : 1/2 x + y - 1/2 = 0
En multipliant de part et d'autre par 2 , on obtient :
x + 2y - 1 = 0
M(x ; y) ∈ (BJ) et M ∈ (DI) , ses coordonnées vérifient donc les 2 équations.
On a donc le système suivant : 3x + 2y - 2 = 0
x + 2y - 1 = 0
En soustrayant membre à membre, on obtient 2x - 1 = 0
⇔ x = 1/2
En remplaçant x par sa valeur dans la 2ème équation, on obtient :
2y - 1/2 = 0 ⇔ y = 1/4
Donc M(1/2 ; 1/4)
4) Les coordonnées du vecteur KM sont :
(1/2 - 2/3 ; 1/4 - 1/2) = (-1/6 ; -1/4)
Les coordonnées du vecteur MC sont :
(1 - 1/2 ; 1 - 1/4) = (1/2 ; 3/4)
On a : (-1/6) × 3/4 - (-1/4) × 1/2 = -3/24 + 1/8 = -1/8 + 1/8 = 0
Les vecteurs KM et MC sont donc colinéaires.
Les points K , M et C sont donc alignés
