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1. Pour déterminer x(0), il suffit de substituer t = 0 dans l'équation x(t). Cela nous donnera la distance à l'instant initial.
2a. Pour démontrer que x vérifie 200x" + 25x' = 50 si et seulement si v vérifie v' = 0,125v + 0,25, nous devons prendre les dérivées de x" et x'. Ensuite, nous pouvons les substituer dans l'équation donnée et simplifier pour obtenir l'équation pour v.
2b. Pour résoudre l'équation différentielle v' = 0,125v + 0,25, nous pouvons utiliser des méthodes de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre.
2c. Étant donné que la vitesse initiale v(0) est supposée nulle, nous pouvons utiliser la solution de l'équation différentielle pour trouver la vitesse v(t) pour tout t réel.
2d. En étudiant la limite de v lorsque t tend vers l'infini, nous pouvons interpréter ce résultat pour comprendre le comportement de la vitesse du chariot à long terme.
3a. Pour démontrer que la fonction x est définie sur l'intervalle [0; +∞[, nous pouvons utiliser la solution de l'équation différentielle pour exprimer x(t) en fonction de t.
3b. Pour trouver la distance parcourue par le chariot après 30 secondes, nous pouvons simplement substituer t = 30 dans l'expression de x(t) et arrondir au dixième près.