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Réponse:
1) Les éléments caractéristiques du cercle (C) sont son centre et son rayon. Pour trouver le centre, nous complétons le carré et réarrangeons l'équation du cercle (C) :
(C) = (x² - 4x) + (y² - 4y) + 4 = (x² - 4x + 4) + (y² - 4y + 4) = (x - 2)² + (y - 2)² - 4 = 0
Donc, le centre du cercle (C) est le point C(2, 2). Et comme le terme constant est -4, le rayon du cercle est R = √4 = 2.
2) Pour trouver une équation paramétrique de la droite (D), nous utilisons le point A(-3;1) et le vecteur directeur (1;-1). L'équation paramétrique est donnée par :
x = -3 + t
y = 1 - t
où t est un paramètre réel.
3) Pour trouver une équation cartésienne de la droite (A) passant par le point B(3;-1) et parallèle à la droite (D), nous utilisons le fait que les droites parallèles ont le même coefficient directeur. Le vecteur directeur de la droite (A) est également (1;-1). L'équation de la droite (A) est donc :
y + 1 = x - 3
4) Pour calculer la distance du point C au centre du cercle (C), nous utilisons la formule de la distance entre un point et une droite. La distance est donnée par :
d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)
Où (A, B) est le vecteur directeur de la droite (A), et (x, y) est le centre du cercle (C). En utilisant les valeurs données, nous avons :
d = |1*2 + (-1)*2 - 4| / √(1² + (-1)²) = |0| / √2 = 0
Comme la distance est nulle, cela signifie que la droite (A) passe par le centre du cercle (C).
5) Pour trouver les coordonnées des points d'intersection C et E de la droite (D) et des axes du repère, nous substituons les équations paramétriques de la droite (D) dans les équations des axes (x = 0 et y = 0) :
Pour l'axe des x (y = 0):
x = -3 + t
0 = -3 + t
t = 3
Donc, le point C a pour coordonnées (0, 3).
Pour l'axe des y (x = 0):
0 = -3 + t
t = 3
Donc, le point E a pour coordonnées (3, 0).