Réponse :
63 Superficie de la Sicile
Pour calculer la superficie de la Sicile, on la modélise par
un triangle ABC.
Un point O est placé sur la carte ci-dessous, sur laquelle
la longueur de chaque côté d'un carreau est 95 km.
B
Palerme
SICILE
Ox
Catane
C
a. En se plaçant dans un repère orthonormé d'origine O,
déterminer les coordonnées des points A, B et C.
A(95 ; 95) B(- 190 ; 47.5) C(47.5 ; - 95)
b. Déterminer une équation de la droite (AB).
y = ax + b
a : coefficient directeur de la droite (AB) :
a = 95 - 47.5)/(95 + 190) = 47.5/285 = 1/6
y = 1/6)x + b
95 = 95/6 + b ⇒ b = 475/6
y = 1/6)x + 475/6
c. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H
du point C sur la droite (AB).
vec(AB) = (- 285 ; - 47.5) est le vecteur normal à la droite (CH)
ax + by + c = 0
- 285x - 47.5y + c = 0
C(47.5 ; - 95) ∈ (CH) ⇔ - 285 * 47.5 - 47.5*(-95) + c = 0
c = 9025
- 285x - 47.5y + 9025 = 0
y = - 285/47.5)x + 9025/47.5
y = - 6x + 190
1/6)x + 475/6 = - 6x + 190
1/6)x + 6x = 190 - 475/6
37/6)x = 665/6
x = 665/37
y = - 6*665/37 + 190 = 3040/37
H(665/37 ; 3040/37)
d. Calculer AB et CH, puis en déduire une valeur appro-
chée de la superficie de la Sicile au km² près.
A = 1/2(AB * CH)
il suffit de calculer la longueur AB et CH à partir des coordonnées de A ; B et C ; H
Explications étape par étape :