Explications étape par étape:
Voici les étapes pour résoudre ce problème :
Montrer que : 2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2π] et 2(PM, QR) = 2(BM, AC)[2π]
Soit M un point du cercle circonscrit au triangle ABC. Projetons orthogonalement M sur les côtés (BC), (AC) et (AB) pour obtenir respectivement les points P, Q et R.
On a :
2(PM, PR) = 2(BM, BA)[2π] (1)
2(PM, QR) = 2(BM, AC)[2π] (2)
En effet, les angles MPR et MBA sont égaux car ils sont inscrits dans le même cercle. De même, les angles MPQ et MAC sont égaux.
Montrer que : 2(PQ, PR) = 0[2π]
En ajoutant les équations (1) et (2), on obtient : 2(PM, PR) + 2(PM, QR) = 2(BM, BA)[2π] + 2(BM, AC)[2π] 2(PM, PR + QR) = 2(BM, BA + AC)[2π]
Or, BA + AC = BC, donc : 2(PM, PR + QR) = 2(BM, BC)[2π]
Comme PR + QR = PQ, on en déduit : 2(PQ, PR) = 0[2π]
En déduire que les points P, Q et R sont alignés
Puisque 2(PQ, PR) = 0[2π], cela signifie que les vecteurs PQ et PR sont colinéaires. Donc les points P, Q et R sont alignés.
Cette droite passant par les trois points P, Q et R est appelée la droite de Simson.
