Commençons par résoudre les différentes parties de l'exercice :
a) Pour l'expression A:
\[ A = (x+3)(x-5) + (x+3)(2x-8) \]
\[ A = (x^2 - 5x + 3x - 15) + (2x^2 - 8x + 6x - 24) \]
\[ A = x^2 - 5x + 3x - 15 + 2x^2 - 8x + 6x - 24 \]
\[ A = (x^2 + 2x^2) + (-5x + 3x - 8x + 6x) + (-15 - 24) \]
\[ A = 3x^2 - 4x - 39 \]
Pour l'expression B:
\[ B = (x-2)^2 - 2(x-2) \]
\[ B = (x^2 - 4x + 4) - (2x - 4) \]
\[ B = x^2 - 4x + 4 - 2x + 4 \]
\[ B = x^2 - 6x + 8 \]
b) Pour factoriser l'expression A:
\[ A = 3x^2 - 4x - 39 \]
\[ A = (3x + 13)(x - 3) \]
Pour l'expression B, elle est déjà factorisée sous sa forme réduite.
c) Pour calculer A lorsque x = 1:
- Forme donnée au départ:
\[ A = (1+3)(1-5) + (1+3)(2*1-8) \]
\[ A = (4)(-4) + (4)(-6) \]
\[ A = (-16) + (-24) \]
\[ A = -40 \]
- Forme développée:
\[ A = 3*1^2 - 4*1 - 39 \]
\[ A = 3 - 4 - 39 \]
\[ A = -40 \]
- Forme factorisée:
\[ A = (3*1 + 13)(1 - 3) \]
\[ A = (16)(-2) \]
\[ A = -32 \]
d) Pour développer et réduire l'expression B, nous avons déjà trouvé:
\[ B = x^2 - 6x + 8 \]
e) Pour factoriser l'expression B:
\[ B = (x - 2)(x - 4) \]
f) Pour calculer B lorsque x = 5:
- Forme donnée au départ:
\[ B = (5-2)^2 - 2(5-2) \]
\[ B = (3)^2 - 2(3) \]
\[ B = 9 - 6 \]
\[ B = 3 \]
- Forme développée:
\[ B = 5^2 - 6*5 + 8 \]
\[ B = 25 - 30 + 8 \]
\[ B = 3 \]
- Forme factorisée:
\[ B = (5 - 2)(5 - 4) \]
\[ B = (3)(1) \]
\[ B = 3 \]
Dans chaque cas, nous obtenons le même résultat pour les trois formes de l'expression.
