Réponse:
Bonjour ! Bien sûr, je peux vous aider.
a. Pour montrer que h est solution de l'équation différentielle (E,) : z'=-0,1 z+ 550, il faut tout simplement la dériver.
Donc, pour x>0 : h(x)= -f(x) => h'(x) = -f'(x) (dérivée de -f(x))
Ensuite, on sait que f est solution de l'équation différentielle (E,) : f'(x) = -0,1 f(x) + 550. Donc, f'(x) - 550 = -0,1 f(x).
On remplace f'(x) par -h'(x) et f(x) par -h(x), et on obtient :
-h'(x) - 550 = -0,1 (-h(x))
=> h'(x) = -0,1 h(x) + 550
Donc h est bien solution de l'équation différentielle (E,).
b. Pour résoudre l'équation (E,), on peut utiliser la méthode de résolution des équations différentielles du premier ordre linéaire à coefficients constants. On cherche donc une solution de la forme h(x) = Ae^(-0,1x) + B.
On calcule la dérivée de h(x) : h'(x) = -0,1Ae^(-0,1x)
On remplace h(x) et h'(x) dans l'équation (E,) :
-h'(x) - 550 = -0,1h(x)
=> 0,1Ae^(-0,1x) = 550
Donc A = 5500, et la solution générale de l'équation (E,) est : h(x) = 5500e^(-0,1x) + B.
Pour trouver B, on utilise la condition initiale h(0) = -f(0) = -4000 :
h(0) = 5500e^(0) + B = -4000
=> B = -9500
Donc l'expression de h(x) est : h(x) = 5500e^(-0,1x) - 9500.
2. En utilisant l'expression de h(x) trouvée précédemment, on peut déduire l'expression de f(x) :
f(x) = -h(x) = -5500e^(-0,1x) + 9500
3. Pour calculer la limite de f en +∞, on peut utiliser la limite d'une exponentielle.
e^(-0,1x) tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini (car l'exposant devient de plus en plus petit). Donc -5500e^(-0,1x) tend vers 0, et 9500 est une constante.
Donc la limite de f en +∞ est 9500.
Interprétation : cela signifie que la population tend vers une valeur constante de 9500 individus à long terme, même si elle peut varier autour de cette valeur dans un premier temps.
