Dans un triangle équilatéral ABC de côté 1, on place les points D, E et F comme indiqué sur la figure. Le but de l'exercice est de minimiser l'aire du triangle DEF.
E
F
A
D
1. Posons x = AD. En utilisant la relation d'Al-Kashi,
déterminer les longueurs DE, EF et FD en fonction
de x.
2. Quelle est la nature du triangle DEF ?
3. Démontrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c
3
est égale
à
4
et en déduire que l'aire de DEF est
minimale si DE est minimale.
4. a. Montrer que, pour tout x > 0,
3x2 - 3x + 1 = 3 x-z) + 4•
b. Pour quelle valeur de x l'aire est-elle minimale ?