Réponse :
ACM est équilatéral car tous ses angles sont égaux.
Explications étape par étape :
Bonjour,
Nous cherchons à démontrer que ACM est équilatéral. Pour cela, nous pouvons montrer que tous ses angles sont égaux ou que tous ses côtés sont de longueurs égales.
Nous choisirons la méthode des angles.
Commençons par calculer l'angle ∠BCA (qui est égal à ∠MCA) dans le triangle ABC rectangle en A.
On pose :
∠MCA = 180 - (∠CBA + ∠BAC)
∠MCA = 180 - (30 + 90)
∠MCA = 180 - 120
∠MCA = 60
Nous trouvons ∠MCA = 60°.
Nous savons que les longueurs AM et AC sont égales car les points M et C appartiennent au cercle passant par M et C de centre A.
Nous pouvons donc en déduire que ACM est un triangle isocèle ; les angles à sa base sont donc égaux. On pose :
∠CMA = ∠ACM
∠CMA = 60°
Nous disposons maintenant des angles ∠CMA et ∠ACM. Nous pouvons maintenant calculer ∠CAM. On pose :
∠CAM = 180 - (∠CMA + ∠ACM)
∠CAM = 180 - (60 + 60)
∠CAM = 180 - 120
∠CAM = 60°
Nous constatons que ∠CAM = ∠CMA = ∠ACM et que par conséquent, ACM est équilatéral.
