résolu

Exercice 2: (10 points) Lélé a un miroir qu'elle place dans un disque en bois pour décorer sa chambre comme sur le schéma ci-contre. Le miroir est représenté par le quadrilatère ABCD et la pièce en bois par disque de centre E. le Lélé souhaite prouver que son miroir a une forme carrée. Pour cela elle relève plusieurs informations: - les points D, C, B, A appartiennent au cercle de centre E AD = 50 cm - DC = 50 cm 1) Prouver que ABCD est un parallelogramme. 2) Prouver que ABCD est un carré. Lélé souhaite maintenant savoir la longueur de la diagonale [AC] de son miroir ABCD. 3) Calculer cette longueur. Arrondir aux dixièmes. ​

Répondre :

Pour prouver que ABCD est un parallélogramme :

1) Les côtés opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et ayant un diamètre commun sont de longueurs égales. Donc, AD = BC et DC = AB. Comme AD = DC et BC = AB, cela signifie que ABCD est un parallélogramme.

Pour prouver que ABCD est un carré :

2) Un parallélogramme avec des côtés égaux et des angles droits est un carré. Comme nous avons déjà montré que ABCD est un parallélogramme avec des côtés égaux, nous devons prouver que ses angles sont droits. Puisque les points D, C, B, A appartiennent au cercle de centre E, alors les angles BAD, ABC, BCD et CDA sont des angles droits. Ainsi, ABCD est un carré.

Pour calculer la longueur de la diagonale AC :

3) Puisque ABCD est un carré, les diagonales AC et BD sont de même longueur. Donc, la longueur de la diagonale AC est égale à la longueur de la diagonale BD. Comme ABCD est inscrit dans un cercle de centre E et de diamètre AD = 50 cm, le rayon du cercle est la moitié du diamètre, soit \( \frac{AD}{2} = 25 \) cm. Ainsi, la longueur de la diagonale AC (ou BD) est \( 2 \times 25 = 50 \) cm.

Donc, la longueur de la diagonale AC du miroir ABCD est de 50 cm.

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