Explications étape par étape :
[tex]x^{2} - 9 \geq (x - 3)(2x + 1)\\[/tex]
[tex]x^{2} - 3^{2} \geq ( x - 3)(2x + 1)[/tex]
[tex](x - 3)(x + 3) \geq (x - 3)(2x + 1)[/tex]
[tex](x - 3)(x + 3) - (x - 3)(2x + 1) \geq 0[/tex]
[tex](x - 3)( (x + 3) - (2x + 1) ) \geq 0[/tex]
[tex](x - 3)( -x + 2) \geq 0[/tex]
Pour finir l'exercice, il te suffit de faire un tableau de signes en étudiant (x - 3) d'une part, et (- x + 2) d'autre part.
Conseils
Une fois que tu as fini l'exercice, n'hésite pas à tester avec des valeurs exemples des intervalles pour vérifier.
Réponse :
On veut résoudre l'inéquation suivante :
[tex]\sf x^2 - 9 \geq (x - 3)(2x + 1)[/tex]
▪ On factorise le membre de gauche :
On connait l'identité remarquable [tex]\sf a^2 - b^2 = (a +b)(a - b)[/tex]
Ici on a :
[tex]\sf a = x\\\\b =3[/tex] car [tex]\sf 3^2 = 9[/tex]
On a donc :
[tex]\sf (x + 3)(x - 3) \geq (x - 3)(2x + 1)[/tex]
▪ On ramène le membre de droite à gauche :
[tex]\sf (x + 3)(x - 3) - (x - 3)(2x + 1) \geq 0[/tex]
Ici on a un facteur commun : [tex]\sf x - 3[/tex]
On a donc :
[tex]\sf (x - 3)(x + 3 - (2x + 1)) \geq 0[/tex]
[tex]\sf (x - 3)(x + 3 - 2x - 1) \geq 0[/tex]
[tex]\sf (x - 3)(-x + 2) \geq 0[/tex]
▪ On a une inéquation produit. Donc on dresse son tableau de signes :
[tex]\sf x[/tex] [tex]\sf -\infty[/tex] [tex]\sf 2[/tex] [tex]\sf 3[/tex] [tex]\sf +\infty[/tex]
[tex]\sf x - 3[/tex] [tex]\sf -[/tex] [tex]\sf -[/tex] [tex]\sf 0[/tex] [tex]\sf +[/tex]
[tex]\sf - x + 2[/tex] [tex]\sf +[/tex] [tex]\sf 0[/tex] [tex]\sf -[/tex] [tex]\sf -[/tex]
[tex]\sf (x - 3)(-x +2)[/tex] [tex]\sf -[/tex] [tex]\sf 0[/tex] [tex]\sf +[/tex] [tex]\sf 0[/tex] [tex]\sf -[/tex]
Conclusion :
2 ≤ x ≤ 3
sous forme d'intervalle :
x ∈ [2 ; 3]
