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Dans les phrases fournies, voici la classe grammaticale et la fonction des mots en violet :
a. Je t'écris à la hâte ces quelques lignes.
"te" : pronom personnel complément d'objet indirect (COI)
b. Donne-moi de tes nouvelles.
"moi" : pronom personnel complément d'objet indirect (COI)
c. J'espère que tu vas mieux.
"que" : conjonction de subordination introduisant une proposition subordonnée complétive
d. Il faut que je te raconte une histoire qui t'amusera.
"te" : pronom personnel complément d'objet indirect (COI)
e. Parle-moi de ta santé.
"moi" : pronom personnel complément d'objet indirect (COI)
f. Je vous remercie de votre envoi.
"vous" : pronom personnel complément d'objet direct (COD)
g. Tu ne m'as pas écrit depuis longtemps.
"m'" : pronom personnel complément d'objet direct (COD)
Si vous avez besoin de plus d'explications sur la grammaire française ou si vous avez d'autres questions linguistiques, n'hésitez pas à demander.