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Réponse :
Pour analyser et résoudre ce problème, nous allons d'abord comprendre la fonction
�
f donnée et conjecturer les valeurs de
�
m et
�
M, puis démontrer les conjectures. La fonction
�
f est définie par:
�
(
�
)
=
4
�
2
4
+
�
4
f(x)=
4+x
4
4x
2
Étape 1 : Analyse et conjecture
Comportement aux limites:
Lorsque
�
x tend vers
∞
∞ ou
−
∞
−∞,
�
4
x
4
croît beaucoup plus rapidement que
4
�
2
4x
2
, donc
�
(
�
)
f(x) tend vers
0
0.
Valeurs de
�
(
�
)
f(x) pour des valeurs spécifiques:
�
(
0
)
=
4
×
0
2
4
+
0
4
=
0
f(0)=
4+0
4
4×0
2
=0
En substituant d'autres valeurs, on peut conjecturer plus précisément le comportement de
�
(
�
)
f(x).
Points critiques:
Pour trouver le maximum local de
�
(
�
)
f(x), on calcule la dérivée et on résout
�
′
(
�
)
=
0
f
′
(x)=0:
�
′
(
�
)
=
8
�
(
4
+
�
4
)
−
16
�
3
⋅
�
(
4
+
�
4
)
2
=
8
�
(
4
−
3
�
4
)
(
4
+
�
4
)
2
f
′
(x)=
(4+x
4
)
2
8x(4+x
4
)−16x
3
⋅x
=
(4+x
4
)
2
8x(4−3x
4
)
On trouve
�
=
0
x=0 ou
4
−
3
�
4
=
0
4−3x
4
=0 soit
�
4
=
4
3
x
4
=
3
4
donc
�
=
±
4
3
4
x=±
4
3
4
.Calculons
�
(
4
3
4
)
f(
4
3
4
):
�
(
4
3
4
)
=
4
(
4
3
4
)
2
4
+
(
4
3
4
)
4
=
4
×
4
3
4
+
4
3
=
4
4
3
16
3
=
3
3
4
f(
4
3
4
)=
4+(
4
3
4
)
4
4(
4
3
4
)
2
=
4+
3
4
4×
3
4
=
3
16
4
3
4
=
4
3
3
Conjecture:
�
(
�
)
f(x) a un maximum de
3
3
4
4
3
3
et un minimum de
0
0.
Étape 2 : Démonstration
Minimum:
Comme
�
(
�
)
≥
0
f(x)≥0 pour tout
�
x réel (numérateur et dénominateur sont toujours positifs ou nuls), et
�
(
�
)
=
0
f(x)=0 est atteint, le minimum de
�
f sur
�
R est
0
0.
Maximum:
Par le calcul précédent,
�
(
�
)
f(x) atteint
3
3
4
4
3
3
en
�
=
±
4
3
4
x=±
4
3
4
. De plus, la dérivée
�
′
(
�
)
f
′
(x) montre que ces points sont des points critiques, et l'observation que
�
(
�
)
f(x) tend vers
0
0 aux infinis indique qu'il s'agit bien d'un maximum local, qui est aussi global car
�
(
�
)
f(x) ne peut excéder cette valeur.
Conclusion
Les valeurs
�
m et
�
M pour lesquelles
�
≤
�
(
�
)
≤
�
m≤f(x)≤M pour tout
�
x réel sont
�
=
0
m=0 et
�
=
3
3
4
M=
4
3
3
.
Explications étape par étape :