1) Pour construire le point D tel que BA + BC = BD, on trace d'abord le segment AC et on le prolonge pour former une droite. Ensuite, on place un point D sur cette droite tel que BA + BC = BD.
2) Le quadrilatère ABCD est un parallelogramme. En effet, on a BA + BC = BD, ce qui implique que les côtés opposés du quadrilatère sont de même longueur, ce qui est une condition nécessaire pour être un parallelogramme.
3) Pour construire le point E image de D par la translation qui transforme A en C, on trace un segment AC et on le prolonge pour former une droite. Ensuite, on place le point E sur cette droite de manière à ce que la translation transformant A en C amène D en E.
4) Pour montrer que BC = 1/2 BE, on utilise le fait que ABCD est un parallelogramme, donc BC = DE. Ensuite, comme E est l'image de D par une translation, on a DE = 2BE, ce qui donne BC = 1/2 BE.
5) Les points M et N étant respectivement les centres de ABCD et ADEC, on a MN = 1/2 AN par propriété des centres des parallélogrammes.
6) En construisant le point F tel que AF = 3/2 AD, on a DE = 3/2 AD. Comme ABCD est un parallélogramme, DF = 3/2 AD également. Ainsi, DFNM est un parallélogramme car les côtés opposés sont de même longueur.
En conclusion, en suivant les étapes de construction et en utilisant les propriétés des parallélogrammes et des translations, on a montré que le quadrilatère DFNM est un parallélogramme.
