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Réponse:
1. Pour justifier que AB = 300, nous devons utiliser les propriétés de la surface et de la longueur. Nous savons que la surface totale est un rectangle d'aire 300 m², donc nous pouvons écrire :
AB × CD = 300
Or, CD = x (car AD = x), donc :
AB × x = 300
En isolant AB, nous obtenons :
AB = 300/x
Donc, AB = 300.
2. Pour justifier que x > 4, nous devons utiliser les propriétés de la surface et de la longueur. Nous savons que la surface totale est un rectangle d'aire 300 m², donc nous pouvons écrire :
AB × CD = 300
Or, CD = x (car AD = x), donc :
AB × x = 300
En isolant AB, nous obtenons :
AB = 300/x
Mais, nous savons que la largeur des dalles est de 2 m, donc :
AB = 2 + x
En égalant les deux expressions de AB, nous obtenons :
2 + x = 300/x
En multipliant les deux côtés par x, nous obtenons :
2x + x² = 300
En déplaçant tous les termes à gauche, nous obtenons :
x² + 2x - 300 = 0
En résolvant cette équation, nous obtenons :
x = 4 ou x = -15
Mais, x ne peut pas être négatif, donc x > 4.
3. Pour démontrer que l'aire de la piscine est donnée par A(x) = 316 - 4x - 1200/x, nous devons utiliser les propriétés de la surface et de la longueur. Nous savons que la surface totale est un rectangle d'aire 300 m², donc nous pouvons écrire :
AB × CD = 300
Or, CD = x (car AD = x), donc :
AB × x = 300
En isolant AB, nous obtenons :
AB = 300/x
Mais, nous savons que la largeur des dalles est de 2 m, donc :
AB = 2 + x
En égalant les deux expressions de AB, nous obtenons :
2 + x = 300/x
En multipliant les deux côtés par x, nous obtenons :
2x + x² = 300
En déplaçant tous les termes à gauche, nous obtenons :
x² + 2x - 300 = 0
En résolvant cette équation, nous obtenons :
x = 4 ou x = -15
Mais, x ne peut pas être négatif, donc x > 4.
4. a. Pour montrer que A(x) > 92 ⇔ -4x² + 224x - 1200/x > 0, nous devons utiliser les propriétés de l'inégalité. Nous savons que A(x) est une fonction de x, donc nous pouvons écrire :
A(x) > 92
En isolant A(x), nous obtenons :
-4x² + 224x - 1200/x > 92
En multipliant les deux côtés par x, nous obtenons :
-4x³ + 224x² - 1200 > 92x
En déplaçant tous les termes à gauche, nous obtenons :
-4x³ + 224x² - 1292x - 1200 > 0
b. Pour montrer que -4x² + 224x - 1200 = (-4x + 24)(x - 50), nous devons utiliser les propriétés de la multiplication. Nous savons que :
-4x² + 224x - 1200 = (-4x + 24)(x - 50)
En développant le produit, nous obtenons :
-4x² + 224x - 1200 = -4x² + 24x - 50x + 1200
En regroupant les termes, nous obtenons :
-4x² + 224x - 1200 = (-4x + 24)(x - 50)
c. Pour déduire le tableau de signes, nous devons utiliser les propriétés de la fonction. Nous savons que :
-4x² + 224x - 1200 = (-4x + 24)(x - 50)
En considérant les signes de chaque terme, nous obtenons :
-4x² > 0 (car x est positif)
224x > 0 (car x est positif)
-1200/x > 0 (car x est positif)
En regroupant les signes, nous obtenons :
-4x² + 224x - 1200/x > 0
Donc, le tableau de signes est :
x < -50 : -4x² + 224x - 1200/x < 0
-50 < x < 24 : -4x² + 224x - 1200/x > 0
x > 24 : -4x² + 224x - 1200/x < 0
voilà j'espère que tout est bon et que je n'ai rien oublié ou fait de fautes par erreurs ...