Pour trouver les dérivées des fonctions données, nous utilisons la règle de dérivation des fonctions exponentielles et la règle de dérivation des fonctions polynomiales. Voici les dérivées des fonctions données :
a) \( f(x) = (4x^2 - 5)e^{x^3} \)
Utilisons la règle du produit pour dériver cette fonction :
\[ f'(x) = (4x^2 - 5)' \cdot e^{x^3} + (4x^2 - 5) \cdot (e^{x^3})' \]
La dérivée de \( 4x^2 - 5 \) est \( 8x \), et la dérivée de \( e^{x^3} \) est \( 3x^2e^{x^3} \).
Donc, \( f'(x) = (8x)e^{x^3} + (4x^2 - 5)(3x^2e^{x^3}) \).
b) \( g(x) = 3e^x + 4 \)
La dérivée de \( 3e^x \) est simplement \( 3e^x \), car la dérivée de \( e^x \) est \( e^x \).
Donc, \( g'(x) = 3e^x \).
c) \( h(x) = 2e^{x^2} - 2x - 7 \)
Pour dériver \( 2e^{x^2} \), nous utilisons la règle de la chaîne :
\[ h'(x) = (2e^{x^2})' - (2x + 7)' \]
La dérivée de \( 2e^{x^2} \) est \( 4xe^{x^2} \), et la dérivée de \( -2x - 7 \) est simplement \( -2 \).
Donc, \( h'(x) = 4xe^{x^2} - 2 \).
d) \( i(x) = 3e^{-x} + 2e^x \)
La dérivée de \( 3e^{-x} \) est \( -3e^{-x} \), car la dérivée de \( e^{-x} \) est \( -e^{-x} \).
La dérivée de \( 2e^x \) est \( 2e^x \), comme expliqué précédemment.
Donc, \( i'(x) = -3e^{-x} + 2e^x \).
