Réponse:
1. Déterminer l'expression de p' (x)
Pour trouver la dérivée de p(x) par rapport à x, nous allons appliquer la règle de dérivation pour les polynômes : si p(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + cx, alors p'(x) = nax^(n-1) + (n-1)bx^(n-2) + ...
Dans notre cas, p(x) = 3x³ - 4x² - 5x + 2, donc :
p'(x) = 3(3x²) - 4(2x) - 5(1) = 9x² - 8x - 5
2. Montrer que p(x) s'écrit aussi : p(x) = (x − 2) (3x² + 2x - 1). - Retrouver avec cette forme l'expression de p'(x)
Nous allons utiliser la règle de dérivation pour les produits de fonctions : si p(x) = f(x)g(x), alors p'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Dans notre cas, p(x) = (x − 2) (3x² + 2x - 1), donc :
p'(x) = (1)(3x² + 2x - 1) + (x − 2)(6x + 2) = 3x² + 2x - 1 + 6x² + 4x - 2 = 9x² + 6x - 3
3. Montrer que p (x) s'écrit encore 3(x − 2) (x + 1)(x-3). Retrouver avec cette dernière forme l'expression de p'(x)
Nous allons utiliser la règle de dérivation pour les produits de fonctions à nouveau :
p'(x) = 3(1)(x + 1)(x-3) + 3(x − 2)(1)(x + 1) + 3(x − 2)(x + 1)(1) = 3(x + 1)(x-3) + 3(x − 2)(x + 1) + 3(x − 2)(x + 1) = 3(x² - x - 9) + 3(x² - x - 2) + 3(x² - x - 2) = 9x² - 9x - 27 + 3x² - 3x - 6 + 3x² - 3x - 6 = 15x² - 15x - 39
