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Pour résoudre les questions concernant la pyramide ACDHG inscrite dans un cube de côté 4 cm, nous allons procéder étape par étape.
### a. Volume de la pyramide
La pyramide ACDHG a pour base le carré CDHG, et le sommet de la pyramide est le point A.
1. **Aire de la base (CDHG)** :
- La base est un carré de côté 4 cm.
- Aire de la base ( \( B \) ) = \( 4 \times 4 = 16 \) cm².
2. **Hauteur de la pyramide** :
- La hauteur de la pyramide est la distance entre le sommet A et le plan de la base (CDHG).
- Comme A est au sommet du cube et la base est le carré au fond du cube, la hauteur est égale à la longueur du côté du cube.
- Hauteur ( \( h \) ) = 4 cm.
3. **Volume de la pyramide** :
- Le volume ( \( V \) ) d'une pyramide est donné par :
\[
V = \frac{1}{3} \times B \times h = \frac{1}{3} \times 16 \times 4 = \frac{64}{3} \approx 21.33 \, \text{cm}^3
\]
- Arrondi au cm³, le volume est **21 cm³**.
### b. Longueurs AH, DG et AG
1. **Longueur AH** :
- AH est une arête du cube.
- Longueur de AH = 4 cm.
2. **Longueur DG** :
- DG est une diagonale de la face carrée CDHG du cube.
- Pour un carré de côté \( a \), la diagonale est donnée par \( a\sqrt{2} \).
- Donc, DG = \( 4\sqrt{2} \).
- \( 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 \approx 5.656 \, \text{cm} \).
- Arrondie au millimètre, DG ≈ **5.66 cm**.
3. **Longueur AG** :
- AG est la diagonale du cube.
- La diagonale d'un cube de côté \( a \) est donnée par \( a\sqrt{3} \).
- Donc, AG = \( 4\sqrt{3} \).
- \( 4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 \approx 6.928 \, \text{cm} \).
- Arrondie au millimètre, AG ≈ **6.93 cm**.
### c. Angle AHD
L'angle AHD est l'angle formé par les arêtes AH et HD.
1. **Vectorisation** :
- Vecteur \(\overrightarrow{AH}\) = (0, 0, -4).
- Vecteur \(\overrightarrow{HD}\) = (4, 0, 0).
2. **Produit scalaire** :
\[
\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HD} = 0 \times 4 + 0 \times 0 + (-4) \times 0 = 0
\]
- AH et HD sont perpendiculaires, donc l'angle entre eux est 90°.
- Donc, l'angle \( \angle AHD \) est **90°**.
### d. Patron de la pyramide
Pour dessiner le patron de la pyramide ACDHG inscrite dans un cube de côté 4 cm, suivez les étapes ci-dessous :
1. **Dessiner la base CDHG** :
- Dessinez un carré de côté 4 cm.
2. **Dessiner les triangles latéraux** :
- Depuis chaque sommet du carré, dessinez un triangle avec une hauteur de 4 cm (correspondant à la distance de A à la base CDHG).
- Connectez les sommets des triangles à un point central au-dessus du carré, représentant le sommet A de la pyramide.
### Visualisation du patron :
```
A
/|\
/ | \
/ | \
C---G---H
/ / \ \
/ / \ \
A /_______\ \
D F
```
Le patron de la pyramide est constitué d'un carré (base) et de quatre triangles isocèles avec une base de 4 cm et une hauteur de 4 cm.
---
Cette structure devrait couvrir toutes les questions de votre exercice. Bonne chance
### a. Volume de la pyramide
La pyramide ACDHG a pour base le carré CDHG, et le sommet de la pyramide est le point A.
1. **Aire de la base (CDHG)** :
- La base est un carré de côté 4 cm.
- Aire de la base ( \( B \) ) = \( 4 \times 4 = 16 \) cm².
2. **Hauteur de la pyramide** :
- La hauteur de la pyramide est la distance entre le sommet A et le plan de la base (CDHG).
- Comme A est au sommet du cube et la base est le carré au fond du cube, la hauteur est égale à la longueur du côté du cube.
- Hauteur ( \( h \) ) = 4 cm.
3. **Volume de la pyramide** :
- Le volume ( \( V \) ) d'une pyramide est donné par :
\[
V = \frac{1}{3} \times B \times h = \frac{1}{3} \times 16 \times 4 = \frac{64}{3} \approx 21.33 \, \text{cm}^3
\]
- Arrondi au cm³, le volume est **21 cm³**.
### b. Longueurs AH, DG et AG
1. **Longueur AH** :
- AH est une arête du cube.
- Longueur de AH = 4 cm.
2. **Longueur DG** :
- DG est une diagonale de la face carrée CDHG du cube.
- Pour un carré de côté \( a \), la diagonale est donnée par \( a\sqrt{2} \).
- Donc, DG = \( 4\sqrt{2} \).
- \( 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 \approx 5.656 \, \text{cm} \).
- Arrondie au millimètre, DG ≈ **5.66 cm**.
3. **Longueur AG** :
- AG est la diagonale du cube.
- La diagonale d'un cube de côté \( a \) est donnée par \( a\sqrt{3} \).
- Donc, AG = \( 4\sqrt{3} \).
- \( 4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 \approx 6.928 \, \text{cm} \).
- Arrondie au millimètre, AG ≈ **6.93 cm**.
### c. Angle AHD
L'angle AHD est l'angle formé par les arêtes AH et HD.
1. **Vectorisation** :
- Vecteur \(\overrightarrow{AH}\) = (0, 0, -4).
- Vecteur \(\overrightarrow{HD}\) = (4, 0, 0).
2. **Produit scalaire** :
\[
\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HD} = 0 \times 4 + 0 \times 0 + (-4) \times 0 = 0
\]
- AH et HD sont perpendiculaires, donc l'angle entre eux est 90°.
- Donc, l'angle \( \angle AHD \) est **90°**.
### d. Patron de la pyramide
Pour dessiner le patron de la pyramide ACDHG inscrite dans un cube de côté 4 cm, suivez les étapes ci-dessous :
1. **Dessiner la base CDHG** :
- Dessinez un carré de côté 4 cm.
2. **Dessiner les triangles latéraux** :
- Depuis chaque sommet du carré, dessinez un triangle avec une hauteur de 4 cm (correspondant à la distance de A à la base CDHG).
- Connectez les sommets des triangles à un point central au-dessus du carré, représentant le sommet A de la pyramide.
### Visualisation du patron :
```
A
/|\
/ | \
/ | \
C---G---H
/ / \ \
/ / \ \
A /_______\ \
D F
```
Le patron de la pyramide est constitué d'un carré (base) et de quatre triangles isocèles avec une base de 4 cm et une hauteur de 4 cm.
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Cette structure devrait couvrir toutes les questions de votre exercice. Bonne chance