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Pour calculer la dérivée de la fonction \( F(x) = -x^2 \sin(x) + x^2 \sqrt{x} \), on utilise les règles de dérivation pour chaque terme séparément.
La fonction se décompose en deux parties:
1. \(-x^2 \sin(x)\)
2. \(x^2 \sqrt{x}\)
Commençons par la dérivée du premier terme:
1. \( f_1(x) = -x^2 \sin(x) \)
Pour dériver ce terme, on applique la règle du produit:
\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Ici, \( u = -x^2 \) et \( v = \sin(x) \).
- La dérivée de \( u = -x^2 \) est \( u' = -2x \).
- La dérivée de \( v = \sin(x) \) est \( v' = \cos(x) \).
Donc,
\[ f_1'(x) = (-x^2)' \cdot \sin(x) + (-x^2) \cdot (\sin(x))' \]
\[ f_1'(x) = (-2x) \cdot \sin(x) + (-x^2) \cdot \cos(x) \]
\[ f_1'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \]
Passons au deuxième terme:
2. \( f_2(x) = x^2 \sqrt{x} \)
On peut écrire \( \sqrt{x} \) comme \( x^{1/2} \). Ainsi, \( f_2(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2 + 1/2} = x^{5/2} \).
Pour dériver ce terme, on utilise la règle de la puissance:
\[ (x^n)' = n x^{n-1} \]
Ici, \( n = \frac{5}{2} \).
Donc,
\[ f_2'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \]
Maintenant, nous combinons les deux résultats:
\[ F'(x) = f_1'(x) + f_2'(x) \]
\[ F'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \]
Donc, la dérivée de la fonction \( F(x) \) est:
\[ F'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) + \frac{5}{2} x^{3/2} \]
La fonction se décompose en deux parties:
1. \(-x^2 \sin(x)\)
2. \(x^2 \sqrt{x}\)
Commençons par la dérivée du premier terme:
1. \( f_1(x) = -x^2 \sin(x) \)
Pour dériver ce terme, on applique la règle du produit:
\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Ici, \( u = -x^2 \) et \( v = \sin(x) \).
- La dérivée de \( u = -x^2 \) est \( u' = -2x \).
- La dérivée de \( v = \sin(x) \) est \( v' = \cos(x) \).
Donc,
\[ f_1'(x) = (-x^2)' \cdot \sin(x) + (-x^2) \cdot (\sin(x))' \]
\[ f_1'(x) = (-2x) \cdot \sin(x) + (-x^2) \cdot \cos(x) \]
\[ f_1'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \]
Passons au deuxième terme:
2. \( f_2(x) = x^2 \sqrt{x} \)
On peut écrire \( \sqrt{x} \) comme \( x^{1/2} \). Ainsi, \( f_2(x) = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2 + 1/2} = x^{5/2} \).
Pour dériver ce terme, on utilise la règle de la puissance:
\[ (x^n)' = n x^{n-1} \]
Ici, \( n = \frac{5}{2} \).
Donc,
\[ f_2'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \]
Maintenant, nous combinons les deux résultats:
\[ F'(x) = f_1'(x) + f_2'(x) \]
\[ F'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \]
Donc, la dérivée de la fonction \( F(x) \) est:
\[ F'(x) = -2x \sin(x) - x^2 \cos(x) + \frac{5}{2} x^{3/2} \]