Exercice 4: (5 pts) On considère l'expérience qui consiste à lancer 3 fois de suite une
pièce de
monnaie équilibrée et on note la face obtenue.
1. Expliquer pourquoi cette situation est une situation d'équiprobabilité.
2. Construire un arbre décrivant cette expérience.
3. Déterminer le nombre d'issues qui réalisent l'événement A: << Obtenir 2 fois PILE»
4. Déterminer le nombre d'issues qui réalisent l'événement B: « Obtenir au moins une
fois
FACE >>.
Exercice 4: (6 pts)
Résoudre les inéquations suivantes sur R à l'aide d'un tableau de signes.
1. (2-x)(x-9) ≥0
3x-6
2.
≤0
2x-1
3. x²-16<0
4. 2x² - 8>0

1. Cette situation est une situation d'équiprobabilité car chaque lancer de pièce de monnaie équilibrée a deux résultats possibles : pile ou face. Chacun de ces résultats a la même probabilité de se produire, donc chaque issue a une probabilité de \( \frac{1}{2} \), ce qui rend toutes les issues également probables.

2. Arbre des probabilités pour l'expérience de lancer une pièce de monnaie trois fois :

```

/ \

P / \ F

/ \

P / \ F

/ \

P F

```

3. Pour l'événement A (Obtenir 2 fois PILE), les issues possibles sont PPF, PFP et FPP. Donc, il y a 3 issues qui réalisent l'événement A.

4. Pour l'événement B (Obtenir au moins une fois FACE), les issues possibles sont FFF, FFP, FPF, PFF, PFP, et FPFF. Donc, il y a 6 issues qui réalisent l'événement B.

Pour les inéquations :

1. \( (2-x)(x-9) \geq 0 \)

On peut résoudre cette inéquation en utilisant un tableau de signes en testant les intervalles déterminés par les zéros de l'expression \( (2-x)(x-9) \). Les zéros sont \( x = 2 \) et \( x = 9 \). Le tableau de signes est :

```

+ - + -

x |------2-------9-------|

(2-x)| - | + | + |

(x-9)| + | + | - |

```

L'inéquation est satisfaite lorsque \( x \leq 2 \) ou \( x \geq 9 \).

2. \( \frac{3x-6}{2x-1} \leq 0 \)

Pour cette inéquation, on détermine d'abord les zéros du numérateur et du dénominateur : \( x = 2 \) pour le numérateur et \( x = \frac{1}{2} \) pour le dénominateur. Ensuite, on teste les intervalles déterminés par ces zéros. Le tableau de signes est :

```

- + -

x |----1/2----2----|

3x-6 | - | + | +

2x-1 | - | + | +

```

L'inéquation est satisfaite lorsque \( \frac{1}{2} \leq x < 2 \).

3. \( x^2 - 16 < 0 \)

Les zéros de cette inéquation sont \( x = -4 \) et \( x = 4 \). Le tableau de signes est :

```

- + -

x |--- -4---4---|

x^2-16| - | + | -

```

L'inéquation est satisfaite lorsque \( -4 < x < 4 \).

4. \( 2x^2 - 8 > 0 \)

On peut factoriser l'expression pour obtenir \( 2(x^2 - 4) > 0 \). Les zéros de cette inéquation sont \( x = -2 \) et \( x = 2 \). Le tableau de signes est :

```

- + -

x |--- -2---2---|

x^2-4| - | + | -

```

L'inéquation est satisfaite lorsque \( x < -2 \) ou \( x > 2 \).