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### Exercice 1
On note \( f \) la fonction définie par \( f(t) = e^{3t} \) où \( t \) est un nombre réel.
#### a. Calculer \( f'(t) \).
La dérivée de \( f(t) = e^{3t} \) se calcule en utilisant la règle de la dérivation pour les fonctions exponentielles :
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} (e^{3t}) \]
Utilisant la règle de la chaîne, on obtient :
\[ f'(t) = 3e^{3t} \]
#### b. Montrer que, pour tout nombre réel \( t \), \( f'(t) - 3f(t) = 0 \).
Calculons \( f'(t) - 3f(t) \) en utilisant les expressions obtenues :
\[ f'(t) = 3e^{3t} \]
\[ f(t) = e^{3t} \]
Alors :
\[ f'(t) - 3f(t) = 3e^{3t} - 3e^{3t} = 0 \]
Donc, pour tout \( t \) réel, \( f'(t) - 3f(t) = 0 \).
### Exercice 2
On note \( f \) la fonction définie par \( f(t) = 2e^{-6t} \) où \( t \) est un nombre réel.
#### a. Calculer \( f'(t) \).
La dérivée de \( f(t) = 2e^{-6t} \) se calcule en utilisant la règle de la dérivation pour les fonctions exponentielles :
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} (2e^{-6t}) \]
Utilisant la règle de la chaîne, on obtient :
\[ f'(t) = 2 \cdot (-6) e^{-6t} = -12e^{-6t} \]
#### b. Montrer que, pour tout nombre réel \( t \), \( f'(t) + 6f(t) = 0 \).
Calculons \( f'(t) + 6f(t) \) en utilisant les expressions obtenues :
\[ f'(t) = -12e^{-6t} \]
\[ f(t) = 2e^{-6t} \]
Alors :
\[ f'(t) + 6f(t) = -12e^{-6t} + 6 \cdot 2e^{-6t} = -12e^{-6t} + 12e^{-6t} = 0 \]
Donc, pour tout \( t \) réel, \( f'(t) + 6f(t) = 0 \).
### Exercice 3
On note \( f \) la fonction définie par \( f(x) = e^x - x - 1 \) où \( x \) est un nombre réel.
#### 1. On note \( g \) la fonction exponentielle définie par \( g(x) = e^x \) où \( x \) est un nombre réel.
Déterminer l'équation réduite de la tangente \( T \) à la courbe de \( g \) au point d'abscisse 0.
La fonction \( g(x) = e^x \) et nous devons trouver la tangente au point d'abscisse 0.
Le point de tangence est \( (0, g(0)) = (0, e^0) = (0, 1) \).
La dérivée de \( g(x) \) est :
\[ g'(x) = e^x \]
Ainsi, la pente de la tangente au point \( x = 0 \) est :
\[ g'(0) = e^0 = 1 \]
L'équation de la tangente au point \( (0, 1) \) est :
\[ y - 1 = 1 \cdot (x - 0) \]
\[ y = x + 1 \]
#### 2. a. Calculer \( f'(x) \).
La dérivée de \( f(x) = e^x - x - 1 \) est :
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x - 1) \]
\[ f'(x) = e^x - 1 \]
#### b. Résoudre l'inéquation \( f'(x) > 0 \).
L'inéquation est :
\[ e^x - 1 > 0 \]
\[ e^x > 1 \]
\[ x > 0 \]
Ainsi, les solutions de \( f'(x) > 0 \) sont \( x > 0 \).
Pour \( f'(x) < 0 \), nous avons :
\[ e^x - 1 < 0 \]
\[ e^x < 1 \]
\[ x < 0 \]
Donc, les solutions de \( f'(x) < 0 \) sont \( x < 0 \).
#### c. Donner les variations de la fonction \( f \) et dresser son tableau de variations sur l'intervalle \((-2 ; 3]\).
La dérivée \( f'(x) = e^x - 1 \) change de signe à \( x = 0 \).
- Pour \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) : \( f(x) \) est décroissante.
- Pour \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \) : \( f(x) \) est croissante.
Le tableau de variations de \( f \) sur l'intervalle \((-2 ; 3]\) est :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & 0 & 3 \\
\hline
f'(x) & - & 0 & + \\
\hline
f(x) & \text{décroissante} & \text{min} & \text{croissante} \\
\hline
\end{array}
\]
#### 3. A l'aide du tableau de variations précédent, expliquer pourquoi \( f(x) \geq 0 \) pour tout nombre réel \( x \).
La fonction \( f(x) = e^x - x - 1 \) atteint son minimum en \( x = 0 \) :
\[ f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Comme \( f(x) \) est décroissante pour \( x < 0 \) et croissante pour \( x > 0 \), \( f(x) \) est toujours positive ou nulle. Ainsi, pour tout \( x \) réel, \( f(x) \geq 0 \).
En déduire la position relative de la courbe de \( g \) et de la tangente \( T \) au point d'abscisse 0, c'est-à-dire préciser sur quel intervalle la courbe de \( g \) est au-dessus (respectivement en-dessous) de la tangente \( T \) en ce point.
La courbe de \( g(x) = e^x \) et la tangente \( T : y = x + 1 \) se rencontrent au point \( x = 0 \).
Pour \( x \leq 0 \), \( e^x \leq x + 1 \) donc \( g(x) \) est en dessous de la tangente \( T \).
Pour \( x \geq 0 \), \( e^x \geq x + 1 \) donc \( g(x) \) est au-dessus de la tangente \( T \).