Réponse :
bonjour pouvez vous m’aider a faire l ex numero 92 svp
a) justifier que la courbe C est au-dessus de l'axe des abscisses
f(x) = xe⁻ˣ or e⁻ˣ > 0 et x ≥ 0 car x ∈[0 ; + ∞[
donc f(x) ≥ 0 on en déduit que C est au-dessus de l'axe des abscisses
b) exprimer l'aire du domaine Da en fonction de a
A = ∫ᵃ₀ f(x) dx = ∫xe⁻ˣdx
par intégration par partie ∫uv' = uv - ∫vu'
u(x) = x ⇒ u'(x) = 1
v'(x) = e⁻ˣ ⇒ v(x) = - e⁻ˣ
∫xe⁻ˣdx = (- xe⁻ˣ)ᵃ₀ - ∫e⁻ˣdx
=(- xe⁻ˣ)ᵃ₀ + (e⁻ˣ)
= - ae⁻ᵃ + e⁻ᵃ - (- 0e⁰ + e⁰)
= (1 - a)e⁻ᵃ - 1
c) lim A = lim (1 - a)e⁻ᵃ - 1 = - 1 (1 - a)/eᵃ - 1 = 1/eᵃ - a/eᵃ - 1
n → + ∞
lim 1/eᵃ = 0 et lim a/eᵃ = lim 1/eᵃ/a = 0
donc par somme lim A = - 1
