résolu

En 2018,on évalue la population d'une ville à 10 mille habitants. Chaque année,10% de la population quitte la ville, et 500 personnes viennent s'y installer. On modéliser la population de cette ville par une suite Un définit sur Notre, où n égale au nombre d'habitants en (2018+n)

1- Préciser Uo, puis calculer la population en 2019.

2-Justifier que pour tout n appartenant à N qu'on a: U(n+1)=0,9.Un+500. Cette expression est-elle une S.A ou S.G?

3- Soit Vn la suite définit sur Notre par: Vn=Un-5000.

a- Montrer que (Vn) est une S.G de raison 0.9.

b- Exprimer Vn en fonction de n.

c- Déterminer alors la population de la ville en 2040.

Répondre :

Bernie76

Bonjour ,

Pense à  dire d'abord "Bonjour" et qq. chose comme "Merci de votre aide". OK ?

1)

U(0)=10000

2)

D'une année sur l'autre le nb d'habitants diminue de 10% donc est multiplié par (1-10/100) soit par 0.9. Mais il faut ajouter 500 habitants qui arrivent.

Donc :

U(n+1)=U(n) x 0.9+500

qui prouve que la suite (U(n)) n'est ni arithmétique , ni géométrique car :

- si arithmétique : U(n+1)=U(n) + r

- si géométrique : U(n+1)=U(n) x q

3)

a)

V(n+1)=U(n+1)-5000

Mais : U(n+1)=U(n) x 0.9+500

Donc :

V(n+1)=U(n) x 0.9+500 - 5000 , soit :

V(n+1)=U(n) x 0.9-4500

On met 0.9 en facteur :

V(n+1)=0.9 x [U(n)-5000] ==> car 0.9 x 5000=4500

Mais : U(n)-5000=V(n)

Donc :

V(n+1)=0.9 x V(n)

qui prouve que la suite (V(n)) est géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme V(0)=U(0)-5000=10000-5000=5000.

b)

Le cours dit :

V(n)=V(0) x q^n , soit ici :

V(n)=5000  x 0.9^n

c)

On sait que : U(n)=V(n)+5000.

Donc :

U(n)=5000 x 0.9^n + 5000

2040-2018=22

U(22)=5000 x 0.9^22 + 5000 ≈ 5492 habitants en 2040.

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