Bonjour,
Réponse :
[tex]{\boxed{\text{Soit } f \text{ la fonction polyn\^ome du second degr\'e d\'efinie par } f(x)= -x^2+x+8 .}[/tex]
1. Calculer f'(x)
Pour trouver la dérivée [tex]f'(x)[/tex], on applique les règles de dérivation :
[tex]f'(x)=\dfrac{d}{dx} (-x^2)+\dfrac{d}{dx} (x)+\dfrac{d}{dx}(8)\\\\\\f'(x)= -2x + 1 + 0\\\\\\\boxed{f'(x)= -2x + 1}[/tex]
→ f'(x) = -2x + 1
2. Déterminer le signe de f'(x) et en déduire les variations de f sur ℝ.
Le signe de [tex]f'(x) = -2x+1[/tex] dépend de [tex]x[/tex].
▪ [tex]\boxed{f'(x) > 0}[/tex] lorsque :
[tex]-2x+1 > 0\\\\-2x > -1\\\\\boxed{x < \dfrac{1}{2}}[/tex]
▪ [tex]\boxed{f'(x) = 0}[/tex] lorsque :
[tex]-2x+1 = 0\\\\\boxed{x = \dfrac{1}{2}}[/tex]
▪ [tex]\boxed{f'(x) < 0}[/tex] lorsque :
[tex]\boxed{x > \dfrac{1}{2}}[/tex]
Ainsi, la fonction [tex]f[/tex] :
▪ est croissante sur [tex]]-\infty ~;~ \dfrac{1}{2} [[/tex]
▪ est décroissante sur [tex]]\dfrac{1}{2} ~;~+\infty [[/tex]
→ La fonction f est croissante sur ]-∞ ; ½[ et décroissante sur ]½ ; +∞[.
3. Quel est l'extremum de f sur ℝ ? en quel point est-il atteint ?
L'extrémum (maximum) de [tex]f[/tex] se trouve au point où [tex]f'(x) =0[/tex], c'est-à-dire à [tex]x=\dfrac{1}{2}[/tex] .
Calculons [tex]f(\dfrac{1}{2} )[/tex] :
[tex]f(\dfrac{1}{2} )=-(\dfrac{1}{2} )^2+\dfrac{1}{2} +8\\\\\\f(\dfrac{1}{2} )=-\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} +8\\\\\\f(\dfrac{1}{2} )=-\dfrac{1}{4} +\dfrac{2}{4} +\dfrac{32}{4} \\\\\\f(\dfrac{1}{2} )=\dfrac{33}{4} \\\\\\\boxed{ f(\dfrac{1}{2} )=8,25}[/tex]
→ L'extrémum de f est donc un maximum de 8,25 atteint en x = ½.
4. Tracer la courbe de la fonction f dans un repère.
Nous avons :
▪ [tex]f(0) = 8[/tex]
▪ [tex]f(1) = -1^2+1+8=-1+1+8=8[/tex]
▪ [tex]f(-1) = -(-1)^2+(-1)+8=-1-1+8=6[/tex]
▪ Le sommet de la parabole est [tex](\dfrac{1}{2} ~,~ 8,25)[/tex]
→ Voir pièce-jointe (réalisée en LaTeX)
Bonne journée !
