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Réponse :
Exercice suite géométrique:
Soit la suite Un définie sur N
U0=4
Un+1= Un/4 +9/4
1. calcule les trois premiers termes de Un
u1 = u0/4 + 9/4 = 4/4 + 9/4 = 13/4
u2 = u1/4 + 9/4 = 13/4/4 = 13/16
u3 = u2/4 + 9/4 = 13/16/4 = 13/64
2. on donne Vn=Un+a ou a est un nombre réel.
a)déterminer le réel a pour que Vn soit géométrique
vn+1 = un+1 + a
= un/4 + 9/4 + a
= un/4 + 9/4 + 4a/4
= 1/4(un + 9 + 4a)
Donc il faut que un+ 9+4a = un + a ⇔ 3a = - 9 ⇔ a = - 9/3
donc a = -3
b) on suppose que le réel a=-3. Montrée que Vn est géométrique dont
on précisera la raison et le premier terme
vn+1 = un+1 - 3
= un/4 + 9/4 - 3
= un/4 + 9/4 - 12/4
= 1/4(un - 3)
= 1/4)vn cqfd
(vn) suite géométrique de raison q = 1/4
et de premier terme v0 = u0 - 3 = 4 - 3 = 1
3. Exprimer Vn en fonction de n
vn = v0 x qⁿ avec n ∈ N Donc vn = 1 x (1/4)ⁿ
4. on pose
Sn=V0+V1+…..+Vn
S’n=U0+U1+…..+Un
Calculer Sn puis en déduire l’expression de S’n en fonction de n.
Sn = v0 + v1 + .......+ vn
= (1/4)⁰ + (1/4)¹ + ....... + (1/4)ⁿ
= (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/4)
donc Sn = 4(1 - (1/4)ⁿ⁺¹)/3
vn = un - 3
un = vn + 3
S'n = u0 + u1 + .......+ un
= (v0+3) + (v1+3) + .......+ (vn+ 3)
= 3(n+1) + (v0 + v1 + .....+ vn)
= 3(n+1) + Sn
= 3(n+1) + 4/3(1 - (1/4)ⁿ⁺¹)
= 3n + 3 + 4/3 - 4/3( (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)
= 3n + 13/3 - 4/3( (1 - (1/4)ⁿ⁺¹)
Explications étape par étape :