Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Il suffit d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
[tex]Soit\ U=(u_1,u_2,u_3,...,u_n)\ et\ V=(v_1,v_2,v_3,...,v_n)\ \\\\\displaystyle (\sum_{k=1}^n {u_k*v_k)^2\leq \sum_{k=1}^n {u_k^2}+\sum_{k=1}^n {v_k^2}[/tex]
[tex]avec\ ici\ u_1=\dfrac{x}{\sqrt{y}} ,u_2=\dfrac{y}{\sqrt{z}} ,u_3=\dfrac{z}{\sqrt{x}} \ et\ v_1=\sqrt{y} ,v_2=\sqrt{z} ,v_3=\sqrt{x} \\[/tex]
[tex](u_1*v_1+u_2*v_2+u_3*v_3)^2=(x+y+z)^2\\\\u_1^2+u_2^2+u_3^2=\dfrac{x^2}{y} +\dfrac{y^2}{z} +\dfrac{z^2}{x} \\\\v_1^2+v_2^2+v_3^2=y+z+x\\[/tex]
[tex](u_1*v_1+u_2*v_2+u_3*v_3)^2=(x+y+z)^2\\\\u_1^2+u_2^2+u_3^2=\dfrac{x^2}{y} +\dfrac{y^2}{z} +\dfrac{z^2}{x} \\\\v_1^2+v_2^2+v_3^2=y+z+x\\(x+y+z)^2 \leq (\dfrac{x^2}{y} +\dfrac{y^2}{z} +\dfrac{z^2}{x} )*(x+y+z)\\[/tex]
On simplifie par x+y+z non nul.
cqfd
