résolu

Bonjour,
J’ai une question niveau ancien BAC (transition MPSI).
Donc j’étudie la conséquence du théorème des suites adjacentes donc le théorème de Bolzano-Weirstrass qui dit que toute suite bornée possède une sous suite convergente.
La démo me pose une peu de problème. La première partie on démontre à l’aide d’une suite de segment emboîtés dont la longueur tend vers 0 donc qu’on en extrait deux suite à et b adjacente et convergent par conséquent vers une même limite l.
La deuxième partie. On essaye de construire du coup une suite extraite ou sous suite et on démontre le cours m’indique qu’on doit dm par récurrence la propriété dépendant de n suivant (la photo).
Le problème vient de l'initialisation comment phi (1) < phi (2) sachant qu’on divise encore le segment avec un nombre infini d’élément.
Est ce que il s’agit simplement d’une relation d’ordre ?!

Bonjour Jai une question niveau ancien BAC transition MPSI Donc jétudie la conséquence du théorème des suites adjacentes donc le théorème de BolzanoWeirstrass q class=

Répondre :

Naylo

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir,

C'est bien une relation d'ordre, mais elle est assurée par le fait qu'on travaille avec des segments de plus en plus petits mais contenant toujours une infinité de termes.

Enfaite L'important ici est de comprendre pourquoi on peut toujours trouver un ϕ(k+1) supérieur à ϕ(k). Ceci est possible parce que chaque segment [an, bn] contient une infinité de termes de la suite (Un).

Puisque (Un) est une suite infinie et [an, bn] contient une infinité de termes de cette suite, il est toujours possible de trouver un indice ϕ(k+1) qui soit supérieur à ϕ(k) et tel que U{ϕ(k+1)} ∈ [a{k+1}, b{k+1}].

N'hesite pas me demander d'autres choses si ce n'est pas encore tres clair.

D'ailleurs je te conseille la vidéo de OLJEN (sur youtube) sur ce théorème qui est excellente

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