Bonjour,
Réponse :
Nous avons :
[tex]A_{ABCD} = A_{ABMI} + A_{MCN} + A_{NID} + \underline{A_{MNI} }[/tex]
En résolvant pour [tex]\underline{A_{MNI} }[/tex], nous obtenons :
[tex]\underline{A_{MNI} }= A_{ABCD} - A_{ABMI} - A_{MCN} - A_{NID}[/tex]
Trouvons toutes les longueurs que nous pouvons avec les informations suivantes :
- [tex]AB = BC = CD = AD = 6[/tex]
- [tex]CN = BM = x[/tex]
- [tex]AI = ID[/tex]
[tex]\rule{1\linewidth}{1pt}[/tex]
Voir pièce-jointe
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Nous avons [tex]\boxed{BC = 6}[/tex] et [tex]\boxed{BM = x}[/tex] (en rouge).
Nous savons que [tex]BC = BM + MC[/tex], en remplaçant les valeurs connues :
[tex]6 = x + MC[/tex]
Calculons [tex]MC[/tex] :
[tex]\boxed{MC = 6 -x}[/tex] (en vert)
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Nous pouvons calculer de la même manière [tex]ND[/tex] :
Nous avons [tex]\boxed{CD = 6}[/tex] et [tex]\boxed{CN = x}[/tex] (en rouge).
Nous savons que [tex]CD = CN + ND[/tex], en remplaçant les valeurs connues :
[tex]6 = x + ND[/tex]
[tex]\boxed{ ND = 6 - x}[/tex] (en vert)
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Nous savons que [tex]I[/tex] est le milieu de [tex][AD][/tex] donc [tex]AI = ID[/tex], et nous savons également que [tex]AD = 6[/tex], donc :
[tex]AI = ID = \dfrac{AD}{2}[/tex] , en remplaçant les valeurs connues :
[tex]AI = ID = \dfrac{6}{2}[/tex]
[tex]AI = ID = 3[/tex]
Donc :
[tex]\boxed{AI = 3}[/tex]
[tex]\boxed{ID = 3}[/tex] (en jaune)
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Traçons [tex][MT][/tex] coupant perpendiculairement [tex][AD][/tex] en [tex]T[/tex] (le point [tex]T[/tex] est en marron). Puisque [tex]BMTA[/tex] est un rectangle, nous avons :
- [tex]\boxed{MT = 6}[/tex] (puisque [tex]BA = MT[/tex]) (en bleu)
- [tex]\boxed{AT = x}[/tex] (puisque [tex]BM = AT[/tex]) (en rouge)
Nous savons que [tex]AD = AT + TI + ID[/tex], en remplaçant les valeurs connues :
[tex]6 = x + TI + 3[/tex]
Calculons [tex]TI[/tex] :
[tex]TI = 6 - 3 - x[/tex]
[tex]\boxed{ TI = 3 - x}[/tex] (en rose)
[tex]\rule{1\linewidth}{1pt}[/tex]
Maintenant, nous avons donc suffisamment de longueurs pour calculer les aires de chaque aire. Voici les rappels pour calculer les aires :
▪ Calculer l'aire d'un carré :
[tex]A =c \times c[/tex] où [tex]c[/tex] est la longueur du côté du carré
▪ Calculer l'aire d'un rectangle :
[tex]A =L \times l[/tex] où [tex]L[/tex] est la longueur du rectangle et [tex]l[/tex] la largeur
▪ Calculer l'aire d'un triangle :
[tex]A =\dfrac{b \times h }{2}[/tex] où [tex]b[/tex] est la base du triangle et [tex]h[/tex] la hauteur
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Nous avons :
[tex]A_{ABMI} = A_{BMTA} + A_{TIM}[/tex]
[tex]\rule{0.4\linewidth}{1pt}[/tex]
Calculons les aires [tex]A_{ABCD}[/tex], [tex]A_{MCN}[/tex], [tex]A_{NID}[/tex], [tex]A_{BMTA}[/tex] et [tex]A_{TIM}[/tex] pour en déduire l'aire [tex]\underline{ A_{MNI}}[/tex] :
▪ Calculons [tex]A_{ABCD}[/tex] :
[tex]A_{ABCD} = c \times c \\\\= AB \times AB \\\\= 6 \times 6 \\\\\boxed{= 36}[/tex]
▪ Calculons [tex]A_{MCN}[/tex] :
[tex]A_{MCN} = \dfrac{b \times h }{2} \\\\\\= \dfrac{MC \times CN }{2} \\\\\\= \dfrac{(6-x) \times x }{2} \\\\\\= \dfrac{6 \times x -x \times x }{2}\\\\\\= \dfrac{6x -x^2 }{2}\\\\\\\boxed{= 3x - 0,5x^2}[/tex]
▪ Calculons [tex]A_{NID}[/tex] :
[tex]A_{NID} = \dfrac{b \times h }{2} \\\\\\= \dfrac{ND \times ID }{2} \\\\\\= \dfrac{(6-x) \times 3 }{2} \\\\\\= \dfrac{6 \times 3 -x \times 3 }{2}\\\\\\= \dfrac{18 -3x }{2}\\\\\\\boxed{= 9 - 1,5x}[/tex]
▪ Calculons [tex]A_{BMTA}[/tex] :
[tex]A_{BMTA} = L \times l \\\\= BA \times BM \\\\= 6 \times x \\\\\boxed{= 6x}[/tex]
▪ Calculons [tex]A_{TIM}[/tex] :
[tex]A_{TIM} = \dfrac{b \times h }{2} \\\\\\= \dfrac{MT \times IT }{2} \\\\\\= \dfrac{6\times (3-x) }{2} \\\\\\= \dfrac{6 \times 3 -6 \times x }{2}\\\\\\= \dfrac{18 -6x }{2}\\\\\\\boxed{= 9 - 3x}[/tex]
Nous pouvons donc calculer [tex]\underline{ A_{MNI}}[/tex] :
[tex]\underline{A_{MNI} }= A_{ABCD} - A_{ABMI} - A_{MCN} - A_{NID}[/tex]
[tex]\underline{A_{MNI} }= A_{ABCD} - (A_{BMTA} +A_{TIM} )- A_{MCN} - A_{NID}[/tex]
En remplaçant les valeurs connues :
[tex]\underline{A_{MNI} }= 36 - (6x +9-3x )- (3x-0,5x^2) - (9 - 1,5x)[/tex]
[tex]\underline{A_{MNI} }= 36 - (3x +9)- (3x-0,5x^2) - (9 - 1,5x)[/tex]
[tex]\underline{A_{MNI} }= 36 - 3x -9- 3x+0,5x^2- 9 + 1,5x[/tex]
On réordonne les termes :
[tex]\underline{A_{MNI} }= 36-9- 9 - 3x - 3x+ 1,5x+0,5x^2[/tex]
On simplifie :
[tex]\underline{A_{MNI} }= 18 -4,5x+0,5x^2[/tex]
On remet dans l'ordre :
[tex]\Large \boxed{\boxed{A_{MNI} = 0,5x^2 -4,5x + 18~~~\text{avec : } 0 < x < 3 }}[/tex]
C'est pour [tex]0 < x < 3[/tex] et non [tex]0 \leq x \leq3[/tex] car :
- si [tex]x = 0[/tex] alors [tex]BM[/tex] et [tex]CN[/tex] seront égales à [tex]0[/tex] (une longueur n'est pas égale à 0), donc 0 n'est pas compris
- [tex]x = 3[/tex] alors [tex]TI[/tex] sera égale à [tex]0[/tex] (une longueur n'est pas égale à 0), donc 3 n'est pas compris
Bonne journée !
