Bonjour,
Réponse :
Le diamètre du grand piston d'une presse hydraulique est D = 40 cm, celui du petit piston étant d = 1 cm.
a) On applique normalement au grand piston une force de valeur F = 80 N. Déterminer la valeur f qu'on doit appliquer sur le petit piston pour maintenir les pistons en équilibre.
▪ L'aire du grand piston est :
[tex]A_1 = \pi \left(\dfrac{D}{2} \right)^2[/tex] On a [tex]D = 40 \text{ cm}[/tex] :
[tex]A_1 = \pi \left(\dfrac{40 \text{ cm}}{2} \right)^2 = \pi(20 \text{ cm})^2 = \boxed{ 400 \pi \text{ cm}^2}[/tex]
▪ L'aire du petit piston est :
[tex]A_2 = \pi \left(\dfrac{d}{2} \right)^2[/tex] On a [tex]d = 1 \text{ cm}[/tex] :
[tex]A_2 = \pi \left(\dfrac{1 \text{ cm}}{2} \right)^2 = \pi(0,5 \text{ cm})^2 = \boxed{ 0,25 \pi \text{ cm}^2}[/tex]
Utilisons le principe de Pascal pour calculer la force [tex]f[/tex].
▪ La pression appliquée au grand piston est :
[tex]P = \dfrac{F}{A_1}[/tex]
▪ Et cette pression est la même sur le petit piston, donc :
[tex]P = \dfrac{f}{A_2}[/tex]
Égalons les deux expressions de la pression :
[tex]\dfrac{F}{A_1} = \dfrac{f}{A_2}[/tex]
Résolvons pour [tex]f[/tex] :
[tex]f = \dfrac{F \times A_2 }{A_1}[/tex]
En substituant les valeurs :
[tex]f = \dfrac{80\text{ N} \times 0,25\pi\text{ cm}^2 }{400\pi\text{ cm}^2} = \boxed{\boxed{0,05\text{ N}}}[/tex]
→ La force f à appliquer sur le petit piston pour maintenir les pistons en équilibre est 0,05 N.
b) On dépose sur le grand piston un solide de masse M = 1,2 kg. Déterminer la valeur de la masse m qu'on doit déposer sur le petit piston pour maintenir l'équilibre des pistons.
Le poids [tex]P[/tex] est donné par :
[tex]P = m \times g[/tex]
Pour le solide de masse [tex]M[/tex] :
[tex]P = 1,2 \text{ kg} \times 9,81 \text{ N/kg} = 11,772\text{ N}[/tex]
La pression exercée par cette force sur le grand piston est :
[tex]P = \dfrac{F_1}{A_1} = \dfrac{11,772 \text{ N}}{400\pi \text{ cm}^2}[/tex]
Cette pression doit être la même sur le petit piston :
[tex]P = \dfrac{F_2}{A_2}[/tex]
Avec :
- [tex]F_2 = m \times g[/tex] ;
- [tex]A_2 = 0,25 \pi \text{ cm}^2[/tex] ;
- [tex]P = \dfrac{11,772 \text{ N}}{400\pi \text{ cm}^2}[/tex] ;
nous avons :
[tex]\dfrac{11,772 \text{ N}}{400\pi \text{ cm}^2} = \dfrac{m \times 9,81 \text{ N/kg} }{0,25 \pi \text{ cm}^2}[/tex]
En simplifiant :
[tex]\dfrac{11,772 }{400} = \dfrac{m \times 9,81 \text{ kg} }{0,25 }[/tex]
[tex]2,943= m \times 3924 \text{ kg}[/tex]
[tex]m = \dfrac{2,943}{ 3924} \text{ kg}= \boxed{0,75\text{ kg}}[/tex]
→ La masse m à déposer sur le petit piston pour équilibrer le poids du solide est donc d'environ 0,75 kg.
Bonne journée !
