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Réponse :
Le plan P est muni d'un repère orthonorme direct (0,u,v). On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 et i. On considère l'application f de P\{A} dans P qui, à tout point M de P\{A} d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z+1 z-2i
1. a. On désigne par C', l'image de C par l'application
zc' = (zc + 1)/(zc - 2i)
= (i + 1)/(i - 2i)
= (i + 1)/-i
= (i + 1) x i/-i x i
= i² + i
donc zc' = - 1 + i
f. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
vec(AC) ⇔ z(vec(AC) = zC - zA = i - 2i = - i
vec(C'B) ⇔ z(vec(C'B) = zB - zC' = - 1 - (- 1 + i) = - 1 + 1 - i = - i
donc z(vec(AC)) = z(vec(C'B)) alors ACBC' est un parallélogramme
b. Montrer que le point C admet un unique antécédent par l'application f que l'on notera C". Quelle est la nature du triangle BCC" ?
zc = (zc" + 1)/(zc"-2i)
i = (zc" + 1)/(zc"-2i) zc" ≠ 2i
i(zc" - 2i) = zc" + 1
izc" + 2 = zc" + 1
izc" - zc" = - 1
zc"(- 1 + i) = - 1
zc" = - 1/(- 1 + i)
zc" = - 1 x (-1 - i)/(-1+i) = (1 + i)/2
Donc zc" = 1/2 + (1/2)i
maintenant pour savoir quelle est la nature du triangle BCC"
si zCB/zCC" est un imaginaire pure alors le triangle est rectangle en C
(zB - zC)/(zC" - zC) = (- 1 - i)/(1/2 + i/2 - i)
= (- 1 - i)/(1/2 - i/2)
= (- 1 - i)(1/2+i/2)/1/2
= 2(- 1/2 - i/2 - i/2 + 1/2)
= 2(-i)
= - 2i imaginaire pur donc le triangle BCC" est rectangle en C
Explications étape par étape :