Réponse :
Explications étape par étape :
observons les "carrés modulo 8"
0 donne 0
1 donne 1
2 donne 4
3 donne 1
4 donne 0
5 donne 1
6 donne 4
7 donne 1
On constate que n² modulo (8) vaut 0,1,4, 1 , etc .. ?
selon que n vaut 0+4k , 1+4k, 2+4k, 3+4k , k appartenant à N
Démontrons que :
** n² modulo (8) vaut 0 quand n vaut 0+4k
** n² modulo (8) vaut 1 quand n vaut 1+4k
** n² modulo (8) vaut 4 quand n vaut 2+4k
** n² modulo (8) vaut 1 quand n vaut 3+4k
ce qui équivaut à :
** n² modulo (8) vaut 0 quand n ≡ 0 [4]
** n² modulo (8) vaut 1 quand n ≡ 1 [4]
** n² modulo (8) vaut 4 quand n ≡ 2 [4]
** n² modulo (8) vaut 1 quand n ≡ 3 [4]
** n² modulo (8) vaut 0 quand n ≡ 0 [4] ⇔
il existe k1 ∈ N / n² = 0+8k1 et il existe k2 ∈ N / n=0+4k2
n = 4k2 ⇒ n² = 16 k2² = 0+8(2k2²) ⇒ k1 = 2k2²
la proposition est démontrée
* n² modulo (8) vaut 1 quand n ≡ 1 [4] ⇔
il existe k1 ∈ N / n² = 1+8k1 et il existe k2 ∈ N / n=1+4k2
n=1+4k2 ⇒ n² = 1+8k2 + 16 k2² ⇒ n² = 1 +8(k2+2 k2² )⇒ k1=k2+2 k2²
la proposition est démontrée
** n² modulo (8) vaut 4 quand n ≡ 2 [4] ⇔
il existe k1 ∈ N / n² = 4+8k1 et il existe k2 ∈ N / n=2+4k2
n=2+4k2 ⇒ n² = 4 + 16k2 + 16 k2² ⇒n² = 4 + 8(2k2+2k2²) ⇒k1=2k2+2k2²
la proposition est démontrée
** n² modulo (8) vaut 1 quand n ≡ 3 [4] ⇔
il existe k1 ∈ N / n² = 1+8k1 et il existe k2 ∈ N / n=3+4k2
n=3+4k2⇒ n² = 9+24k2 + 16 k2² ⇒n² = 1+8(1+3k2+2k2²) ⇒k1=1+3k2+2k2²
On vient d'envisager les 4 cas possibles :
n ≡ 0 [4] ⇒ n² ≡ 0 [8] ou bien
n ≡ 1 [4] ⇒ n² ≡ 1 [8] ou bien
n ≡ 2 [4] ⇒ n² ≡ 4 [8] ou bien
n ≡ 3 [4] ⇒ n² ≡ 1 [8]
Il y a donc pour a² +b² +c² 27 situations possibles, car a² , b² ou c² peuvent valoir 0, 1, ou 4 , et 3 x 3 x 3 = 27 cas possibles
a² b² c² a² +b² +c² modulo 8
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 4 4 4
0 1 0 1 1
0 1 1 2 2
0 1 4 5 5
0 4 0 4 4
0 4 1 5 5
0 4 4 8 0
1 0 0 1 1
1 0 1 2 2
1 0 4 5 5
1 1 0 2 2
1 1 1 3 3
1 1 4 6 6
1 4 0 5 5
1 4 1 6 6
1 4 4 9 1
4 0 0 4 4
4 0 1 5 5
4 0 4 8 0
4 1 0 5 5
4 1 1 6 6
4 1 4 9 1
4 4 0 8 0
4 4 1 9 1
4 4 4 12 4
On vient de montrer la proposition principale, à savoir quand aucun cas dans N³, on a a² +b² +c² ≡ 7 [8]
