bonjour
deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
a) √5 - √2 et 2 - √3
(√5)² = 5 et (√2)² = 2
5 > 2 => √5 > √2 => 5 - √2 > 0
de même
2² = 4 et (√3)² = 3
4 > 3 => 2 > √3 => 2 - √3 > 0
ces deux nombres sont positifs
on compare leurs carrés
(√5 - √2)² = 5 -2√5√2 + 2 = 7 - 2√10
(2 - √3)² = 4 - 4√3 + 3 = 7 - 4√3
le 1er terme est le même, il reste à comparer 2√10 et 4√3
(2√10)² = 4 x 10 = 40
(4√3)² = 16 x 3 = 48
48 > 40 => 4√3 > 2√10 => 7 - 4√3 < 7 - 2√10
d'où
2 - √3 < √5 - √2
b) √13 + √8 et √14 +√7
même méthode ; ces nombres sont positifs
(√13 + √8)² = 13 + 2√13√8 + 8 = 21 + 2√13√(4 x 2)
= 21 + 2√13 x 2√2
= 21 + 4√26
(√14 + √7)² = 14 + 2√14√7 + 7
= 14 + 2√(2 x 7)√7 + 7
= 14 + 2√2√7√7 + 7
= 21 + 2√2 x 7
= 21 + 14√2
pour terminer il reste à comparer 4√26 et 14√2
on trouve
√13 + √8 > √14 +√7
