résolu

Dans le repère orthonormé (O; i,j), on considère les points A(-3; 3), B(1; 6) et C(-2; 10)
On note D le point tel que ABCD soit un parallelogramme.
1) Montrer que les coordonnées du point D sont (-6; 7).
2 a) Calculer la distance AB.
On admet que AD = 5.
b) Que peut-on en déduire pour la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.
3) On admet que BD = 5√2.
a) Montrer que le triangle ABD est rectangle isocèle en A.
b) Que peut-on en déduire pour la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.

Répondre :

fffarid

Réponse :

Explications étape par étape :

1)

D est de coord. ( x; y) . On cherche x et y

ABCD parallélogramme ⇔Le vecteur AB est égal au vecteur DC

AB est de coord : coord (B) - coord (A) soit :

1- (-3) = 4

6 - 3 = 3

DC est de coord : coord (C) - coord (D) soit :

-2 - x

10 -y

Ces 2 vecteurs sont égaux :

-2 - x = 4

10 -y = 3

On met de l'ordre dans tout ça :

-2 -4 = x

10 -3 = y

Finalement :

x = -6

y = 7

Coord de D : (-6 ; 7) CQFD

2)

a)

Dist (AB) ?

La dist. AB est égale à la norme du vec. AB

AB est de coord (4,3)

dist (AB) = √ (4²+ 3²) = √(16+9) = √25

dist (AB) = 5

b)

Si On admet que AD = 5., alors le parallélogramme ABCD , ayant 2 côtés consécutifs égaux, est au moins un losange.

3)

On admet que BD = 5√2.

a)

Le triangle ABD est isocèle : en effet , les côtés de l'angle A, à savoir AB et AD sont égaux , de longueur 5.

Pour montrer qu'il est rectangle en A, utilisons la réciproque du théorème de Pythagore :

Si AB²+AD² = BD² , alors le triangle ABD est rectangle en A

AB²+AD² = 5²+5² = 2*5²

BD ² = (5√2)² = 5²*2 = 2*5²

Donc :

AB²+AD² = BD ²

Donc Le triangle ABD est isocèle et rectangle en A

b)

ABCD , un losangle ayant un angle droit ? C'est un carré.

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