Réponse :
Explications étape par étape :
1)
d(1) = 50
d(2) = 98% d(1) = 0,98 * 50 = 49
d(3) = 98% d(2) = 0,98 * 49 = 48,02
On remarque que :
d(3) = 0,98 d(2) = 0,98 * 0,98 d(1) = 0,98 ² d(1)
2)
d(n+1) en fonction de d(n) ?
d(n+1) = 0,98 d(n)
On a vu que d(3) = 0,98 ² d(1)
Supposons que d(n) = 0,98 ⁿ⁻¹ d(1)
Alors :
d(n+1) = 0,98 d(n)
= 0,98 * 0,98 ⁿ⁻¹ d(1)
= 0,98 ⁿ *50
On vient de prouver que
d(n+1)= 98% ⁿ* 50 pour tout n entier nat. sup ou égal à 1
Par la même , on vient de montrer que la suite d(n) est géométrique de raison 0,98 et de premier terme 50
3)
Somme des termes de cette suite décroissante :
S(n+1) = 50 + 0,98 * 50 + 0,98² * 50 + ...+ 0,98 ⁿ⁻¹ * 50 + 0,98 ⁿ * 50
= 50 (1+0,98+0,98²+...+0,98 ⁿ )
On sait que :
1+0,98+0,98²+...+0,98 ⁿ = (1 - 0,98 ⁿ) / (1-0,98)
Comme la raison 0,98 est comprise entre 0 et 1, alors la limite de cette suite est : d(1) /(1-0,98) = 50/0,02 = 5000/2 = 2500
Par le calcul (feuille excel ) , on a:
S(500) = 2499,89744
4)
a)
d(1)+d(2)+d(3) = 147,02
arrondi à l'unité : 147
b)
Cette somme représente la distance parcourue en 3 jours
5)
Il faut parcourir au minimum 388 jours
(1 - 0,98 ⁿ) / (1-0,98) = 2 499/50 = 49,98
(1 - 0,98 ⁿ) = 49,98 * (1-0,98) = 0,9996
1 - 0,98 ⁿ = 0,9996
0,98 ⁿ = 1-0,9996 = 0,0004
log (0,98 ⁿ) = log(0,0004)
(n) log (0,98) = log(0,0004)
n = log(0,0004)/log (0,98)
n = log(0,0004)/log (0,98)
n = -3,397940009 / -0,008773924
n = 387,2
n = 388 jours
