Bonjour,
Réponse :
1. A l'aide d'une calculatrice, déterminer la position relative des courbes représentatives de f et g.
Voir pièce-jointe.
Les courbes se croisent donc en (-2 ; 11) et (1 ; -1).
2. On pose d(x) = f(x) - g(x). Montrer que d(x) = (x - 1)(x + 2).
Nous avons [tex]d(x) = f(x) - g(x)[/tex], où :
[tex]\bullet~ f(x) = x^2 - 3x + 1\\\\ \bullet~ g(x) = -4x + 3[/tex]
Calculons [tex]d(x)[/tex] :
[tex]d(x) = x^2 - 3x + 1 - (-4x+3)\\\\d(x) = x^2 - 3x + 1 +4x-3\\\\d(x) = x^2 + x -2 \\\\d(x) = x^2 + 2x - x -2\\\\d(x) = x(x + 2) - 1(x +2)\\\\\boxed{d(x) = (x-1)(x+2) }[/tex]
3. En déduire algébriquement la position relative des deux courbes.
Nous avons montré que [tex]d(x) = (x+2)(x-1)[/tex].
Les racines de [tex]d(x)[/tex] sont :
- [tex]x-1 = 0 \Longleftrightarrow \boxed{x = 1}[/tex]
- [tex]x+2 = 0 \Longleftrightarrow \boxed{x = -2}[/tex]
Nous pouvons donc déterminer la position relative des courbes [tex]f(x)[/tex] et [tex]g(x)[/tex] :
- Si [tex]d(x) > 0[/tex] alors [tex]f(x) > g(x)[/tex]
- Si [tex]d(x) = 0[/tex] alors [tex]f(x) = g(x)[/tex]
- Si [tex]d(x) < 0[/tex] alors [tex]f(x) < g(x)[/tex]
Tableau de signes :
[tex]x \hspace{1cm} -\infty \hspace{1cm} -2\hspace{1cm} 1\hspace{1cm} +\infty\\\\x-1 \hspace{1.5cm} - \hspace{0.5cm} \hspace{0.66cm} - \hspace{0.4cm} 0 \hspace{0.45cm}+ \\\\x +2 \hspace{1.5cm} - \hspace{0.5cm} 0 \hspace{0.4cm} + \hspace{0.25cm} \hspace{0.75cm}+\\\\d(x)\hspace{1.65cm} + \hspace{0.5cm} 0 \hspace{0.4cm} - \hspace{0.3cm} 0 \hspace{0.55cm}+[/tex]
Donc :
▪ Pour [tex]x < -2[/tex] et [tex]x > 1[/tex] :
[tex]f(x) > g(x)[/tex]
→ La courbe [tex]f(x)[/tex] est au dessus de celle de [tex]g(x)[/tex] sur l'intervalle [tex]\texttt{]}-\infty ; -2\texttt{[} \cup \texttt{]}1 ; +\infty\texttt{[}[/tex].
▪ Pour [tex]x =-2[/tex] et [tex]x =1[/tex] :
[tex]f(x) = g(x)[/tex]
→ Les courbes [tex]f(x)[/tex] et [tex]g(x)[/tex] se croisent en [tex]x =-2[/tex] et [tex]x =1[/tex].
▪ Pour [tex]-2 < x < 1[/tex] :
[tex]f(x) < g(x)[/tex]
→ La courbe [tex]f(x)[/tex] est en dessous de celle de [tex]g(x)[/tex] sur l'intervalle [tex]\texttt{]}-2 ; 1\texttt{[}[/tex].
Bonne journée !
