Q1. Sachant que [tex]u_0=500[/tex] :
[tex]u_1= u_0 \times 0,9 +20= 500 \times 0,9+20= 470\\u_2= u1 \times 0,9 +20= 470 \times 0,9+20= 443[/tex]
Rappel : on multiplie par 0,9 car 0,9 = 1 - 10 %.
Q2. [tex]u_{n+1}= u_n \times 0,9 + 20 = 0,9u_n + 20[/tex]
Q3a. Suite géométrique de raison 0,9 :
[tex]v_{n+1}=u_{n+1} - 200\\v_{n+1}=0,9u_{n} - 200 + 20\\v_{n+1} = 0,9u_{n} - 180\\v_{n+1} = 0,9(u_{n} - 200)\\v_{n+1} = 0,9v_{n}[/tex]
Q3b. Puisque [tex](v_n)[/tex] est géométrique de raison q = 0,9, alors :
[tex]v_n = v_0 \times q^n\\v_n = (u_0 - 200) \times 0,9^n\\v_n = (500 - 200) \times 0,9^n\\v_n = 300 \times 0,9^n\\[/tex]
De plus,
[tex]v_n = u_n - 200\\u_n = v_n + 200\\u_n = 300 \times 0,9^n + 200\\[/tex]
Q4.
[tex]u_{n+1} - u_n = 300 \times 0,9^{n+1} + 200 - (300 \times 0,9^{n} + 200)\\u_{n+1} - u_n = 300 \times 0,9^{n+1} + 200 - 300 \times 0,9^{n} - 200\\u_{n+1} - u_n = 300 \times 0,9^{n+1} - 300 \times 0,9^{n}\\u_{n+1} - u_n = 300 \times 0,9^{n} (0,9 - 1)\\u_{n+1} - u_n = 300 \times 0,9^{n} \times (-0,1)\\u_{n+1} - u_n = -30 \times 0,9^{n} < 0[/tex]
Pour tout entier n, la suite est décroissante, donc le nombre d'abonnés diminue d'une année sur l'autre.
Q5. 0 < 0,9 < 1 donc
[tex]\lim_{n \to \infty} 0,9^n = 0\\ \lim_{n \to \infty} 300 \times 0,9^n + 200 = 200[/tex]
La suite converge vers 200, ce qui signifie que le nombre d'abonnés tend vers 200 milliers, soit 200 000.
