Soit a et n appartenants à IN\[1]
1/ Montrer que a^n-1 premier implique a=2
2/ Montrer que a^n-1 premier implique n premier
1) a^n-1=a^n-1^n
=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +1)
si a^n-1 est premier alors a-1=1 ou a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +1=1
soit a=2 ou a^(n-1)+a^(n-2)+ ... +a^(1)=0
la 2ème égalité est impossible (car a non nul) donc on déduit que :
a^n-1 premier implique a=2
2) Raisonnons par contraposée :
si n non premier alors il existe p et q entier différents de 1 tels que n=p*q
donc a^n-1=a^(p*q)-1
=(a^p)^q-1^q
=(a^p-1)((a^p)^(q-1)+(a^p)^(q-2)+ ... +1)
donc a^n-1 n'est pas premier car a^n-1=P*Q avec P et Q entiers différents de 1
donc a^n-1 premier implique n premier
